Otras carreras ¿Cuál es la diferencia de estos dos métodos para hallar una derivada segunda?

[danielandresbru]

Hola queria saber que es lo que estoy calculando en cad uno de estos casos

1)
Tengo una funcion $f(x,y)=4x^3 y^2$ y hayo su diferencial de segundo orden $d^2f(x,y)= \frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) dx^2 + 2 \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}f(x,y) dxdy + \frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y) dy^2$ $d^2f(x(t),y(t)) = 24y^2xdx^2+48yx^2 dxdy +8x^3dy^2$ y por tanto $\frac{d^2}{dt^2}f(x,y) = 24y^2x \big(\frac{dx}{dt}\big)^2+48yx^2 \frac{dx}{dt} \frac{dy}{dt} +8x^3\big(\frac{dy}{dt}\big)^2$ , así que si tengo que $x(t)=3t^2$ y $y(t)=2t^3$. la segunda derivada será
$\frac{d^2}{dt^2}f(x(t),y(t)) = 24y^2x \cdot 36t^2 +48yx^2 \cdot 6t \cdot 6t^2 +8x^3 \cdot 36t^4$ , $\frac{d^2}{dt^2}f(x(t),y(t))=\frac{d^2}{dt^2} f(t) = 42248 \cdot t^{10}$

2)
Tengo una funcion $f(x,y)=4x^3 y^2$, y dos funciones $x(t)=3t^2$ y $y(t)=2t^3$. Si hago una composición de funciones llego a que $f(t)=4(3t^2)^3 \cdot (2t^3)^2= 432t^{12}$ , y si hago su segunda derivada llego a $\frac{d^2}{dt^2}f(t)= 57024 \cdot t^{10}$


Lo que quisiera saber cual es la diferencia de los procesos que hice, porque creía deberían dar lo mismo

[arivasm]

Re: ¿Cuál es la diferencia de estos dos métodos para hallar una derivada segunda?

La expresión que pones para el diferencial de segundo orden es incorrecta. Debería ser de esta manera: $\dst \dd^2f(x,y)= \frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) (\dd x)^2 + 2 \frac{\partial^2}{\partial x \partial y}f(x,y) \dd x \dd y + \frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y) (\dd y)^2+\frac{\partial f}{\partial x}\dd^2 x+\frac{\partial f}{\partial y}\dd^2 y$

[Richard R Richard]

Re: ¿Cuál es la diferencia de estos dos métodos para hallar una derivada segunda?

No me atreví antes, pues pense que esa definición era correcta y que venia de algún libro, pero ahora que arivasm ha dado un puntapie...

me parecía que esa expresión no seguía la regla de la cadena... a ver si me sale y queda lindo....

$\dst \dd f(x,y)= \left [ \frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \dd x \right ] +\left [ \frac{\partial}{\partial y}f(x,y) \dd y \right ]$



volviendo a derivar

$\dst \dd^2 f(x,y)= \left [\frac{\partial}{\partial x}\left (\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \dd x +\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) \dd y \right ) \dd x \right ]+$$\dst\left [\frac{\partial}{\partial y}\left (\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \dd x +\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) \dd y \right )\dd y\right ]$

$\dst \dd^2 f(x,y)= \left [\frac{\partial}{\partial x}\left (\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \dd x \right ) \dd x+\frac{\partial}{\partial x}\left (\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) \dd y \right ) \dd x\right ]+$$\dst\left [\frac{\partial}{\partial y}\left (\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \dd x \right )\dd y+\frac{\partial}{\partial y}\left (\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) \dd y \right )\dd y\right ]$


$\dst \dd^2 f(x,y)=$ [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] $\dst \left .\left (\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y) \dd y^2+\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) \dd^2 y \right ) \right ]$

reordenando

$\dst \dd^2 f(x,y)=$ $\dst \left (\frac{\partial^2}{\partial x^2}f(x,y) \dd x^2 +2\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}f(x,y) \dd x \dd y+\frac{\partial^2}{\partial y^2}f(x,y) \dd y^2\right )+$ $\dst\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \dd^2 x+\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) \dd^2 y$

ya lo debes saber pero por las dudas

$\dd x =\dfrac{\partial x}{\partial t}\dd t=x' \dd t$


$\dd^2 x=\dfrac{\partial^2 x}{\partial t^2} \dd t^2=x''\dd t^2$

[danielandresbru]

Re: ¿Cuál es la diferencia de estos dos métodos para hallar una derivada segunda?

Muchas gracias Richard, pero seguro que esta bien lo primero en donde colocaste el difeencial de segundo orden, es que en lo segundo donde coocaste el diferencial de segundo orden(tercera expresión), no sé de donde salen los $dx^2$ y $d^2x$

[Richard R Richard]

Re: ¿Cuál es la diferencia de estos dos métodos para hallar una derivada segunda?

Aqui estas haciendo un diferencial y habrás visto en el hilo extenso Que es un diferencial que

$\dd f=f' \dd x$

así que cuando derivas una función $\mathbb {R}^n a \mathbb {R}$ el diferencial es $\vec\nabla f\cdot \vec {dX}$ que coincide con la derivada direccional , en ese producto escalar se multiplica el gradiente de la función por el vector compuesto de los diferenciales de cada variable$(\dd x,\dd y,....)$

cuando haces la segunda derivación usas el la regla de la cadena y que la derivada de un producto de dos funciones es la derivada del primera por la segunda sin derivar mas el primera sin derivar por la segunda derivada.

cuando dos diferenciales se multiplican obtienes $\dd x^2=\dd x .\dd x$

pero cuando es la derivada del diferencial o mejor dicho el diferencial segundo de la variable lo escribes $\dd^2 x=\dst\frac{\partial}{\partial x}\dd x$

tambien use que $\dst\frac{\partial}{\partial x}\dd y =0$ y que $\dst\frac{\partial}{\partial y}\dd x =0$

Voy a cambiar los parentesis por corchetes para que veas de donde sale cada cosa

[danielandresbru]

Re: ¿Cuál es la diferencia de estos dos métodos para hallar una derivada segunda?

Muchas Gracias, ahora lo veo mejor

[alexpglez]

Re: ¿Cuál es la diferencia de estos dos métodos para hallar una derivada segunda?

Perdona Richard, pero te olvidaste de escribir $dx$ y $dy$ en la ecuación. Por otra parte no entiendo muy bien eso de [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , en el enlace que aparece de Arivasm "When the independent variable x itself is permitted to depend on other variables, then the expression becomes more complicated, as it must include also higher order differentials in x itself.", aun así no lo explica, me refiero que en el caso de una variable no pasa.
Me parece más lógico definir el diferencial como:

$$d^n f=f^(n)(x(t),y(t)) dt$$

Para la derivada segunda:

$$\frac{df(x(t),y(t))}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x} x'(x)+ \frac{\partial f}{\partial y} y'(t)$$

Calculo previamente:

$$\frac{d}{dt}[\frac{\partial f}{\partial x} x'(t)]=\frac{d}{dt}[\frac{\partial f}{\partial x}] x'(t)+\frac{\partial f}{\partial x}x''(t)$$

Y como la derivada parcial, sigue siendo una función de x e y.

$$\frac{d}{dt}[\frac{\partial f}{\partial x} x'(t)]=[\frac{\partial f}{\partial x^2} x'(t)+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}y'(t)]x'(t)+\frac{\partial f}{\partial x}x''(t)$$

Por lo que, calculando la derivada del segundo término, que es idéntica, cambiando x por y y sumando, teniendo en cuenta que da igual derivar primero o después tenemos:

$$\frac{d^2f(x(t),y(t))}{dt^2}=\frac{\partial f}{\partial x^2} x'(t)^2+\frac{\partial f}{\partial y^2} y'(t)^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}y'(t)x'(t)+\frac{\partial f}{\partial x}x''(t)+\frac{\partial f}{\partial y}y''(t)$$

Y si se quiere obtener el diferencial de segundo orden se "multiplica" por $dt^2$

[Richard R Richard]

Re: ¿Cuál es la diferencia de estos dos métodos para hallar una derivada segunda?

Perdona Richard, pero te olvidaste de escribir $dx$ y $dy$ en la ecuación. Por otra parte no entiendo muy bien eso de $(\partial_x dx)dx=d^2x$, en el enlace que aparece de arivasm "When the independent variable x itself is permitted to depend on other variables, then the expression becomes more complicated, as it must include also higher order differentials in x itself.", aun así no lo explica, me refiero que en el caso de una variable no pasa.
Me parece más lógico definir el diferencial como:

$$d^n f=f^(n)(x(t),y(t)) dt$$

Para la derivada segunda:

$$\frac{df(x(t),y(t))}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x} x'(x)+ \frac{\partial f}{\partial y} y'(t)$$

Calculo previamente:

$$\frac{d}{dt}[\frac{\partial f}{\partial x} x'(t)]=\frac{d}{dt}[\frac{\partial f}{\partial x}] x'(t)+\frac{\partial f}{\partial x}x''(t)$$

Y como la derivada parcial, sigue siendo una función de x e y.

$$\frac{d}{dt}[\frac{\partial f}{\partial x} x'(t)]=[\frac{\partial f}{\partial x^2} x'(t)+\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}y'(t)]x'(t)+\frac{\partial f}{\partial x}x''(t)$$

Por lo que, calculando la derivada del segundo término, que es idéntica, cambiando x por y y sumando, teniendo en cuenta que da igual derivar primero o después tenemos:

$$\frac{d^2f(x(t),y(t))}{dt^2}=\frac{\partial f}{\partial x^2} x'(t)^2+\frac{\partial f}{\partial y^2} y'(t)^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}y'(t)x'(t)+\frac{\partial f}{\partial x}x''(t)+\frac{\partial f}{\partial y}y''(t)$$

Y si se quiere obtener el diferencial de segundo orden se "multiplica" por $dt^2$

Disculpa Alex no me puedo dar cuenta donde me he olvidado de poner esos diferenciales, la deducción la arme en latex en el mismo mensaje, por eso puse "aver si me sale", Cuando mire por primera vez el enunciado me pareció una definición correcta, aunque tenía mis dudas , pero cuando arivasm paso el link, me confirmo la sospecha, y me anime ha hacer el desarrollo, pero no lo copie de ningún lado. Luego, con la pregunta de danielandresbru, modifique un poco, para que viera de donde venía cada cosa. pero te repito no veo en que me equivoco, y por lo que he podido leer tu desarrollo esta correcto.

intuyo que te refieres a que lo tengo armado en diferenciales, y no en derivadas con respecto al tiempo. eso es?

[alexpglez]

Re: ¿Cuál es la diferencia de estos dos métodos para hallar una derivada segunda?

Por ejemplo has escrito esto:

$\dst \dd^2 f(x,y)= \left [\frac{\partial}{\partial x}\left (\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \dd x +\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) \dd y \right ) \right ]+$ $\dst\left [\frac{\partial}{\partial y}\left (\frac{\partial}{\partial x}f(x,y) \dd x +\frac{\partial}{\partial y}f(x,y) \dd y \right )\right ]$

Cuando deberías haber escrito:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Saludos.

[Richard R Richard]

Re: ¿Cuál es la diferencia de estos dos métodos para hallar una derivada segunda?

Corregido, quizä a eso también se refería daniel en su post #4

Gracias

Saludos