Otras carreras Hallar el volumen de un recinto

[danielandresbru]

Hola tengo tiempo intentando resolver este problema: Me piden qe sobre el recinto $[(x,y): x^2 + (y-1)^2 \leq 1, \ x \geq 0]$ halle la integral de la función $h(x,y)= \frac {\sqrt {2y^2 + x^2}} y$.

Lo estuve intentando con un cambio de variable dado por la siguiente función $g:\left ( \begin{matrix}\rho \\<br /> \theta<br /> \end{matrix} \right ) \rightarrow \left ( \begin{matrix}<br /> x=\rho \cos (\theta) \\<br /> y=\frac 1 {\sqrt{2}}\rho \sin(\theta)<br /> \end{matrix} \right )$ por lo que tuve un $|J_g|=\frac \rho {\sqrt 2}$ y me quedó lo siguiente $\displaystyle \int \int_{g^{-1}(R)} \sqrt 2 \frac \rho {\sin(\theta)} d\rho d\theta$. Pero mi problema está en que no sé bien como calcular ese $g^{-1}(R)$ ya que no lo entiendo muy bien cuando una transformación es biyectiva. Quisiera saber como calcular $g^{-1}(R)$ y si también alguien sabe de otro cambio de variable que pueda utilizar.
Muchas gracias de antemano

[visitante20160513]

Re: Hallar el volumen de un recinto

El dominio de integración es un semicírculo, pero centrado en el punto (0,1), si trasladas el dominio (y la función) antes de integrar para que el dominio se encuentre centrado en el origen de coordenadas podrás utilizar coordenadas cilíndricas (o polares) con mayor eficiencia. Haciendo pues el cambio $y=y'+1$ el problema se convierte en:

Recinto: $[(x,y): x^2 + y^2 \leq 1, \ x \geq 0]$

Función: $h(x,y)= \displaystyle\frac {\sqrt {2(y+1)^2 + x^2}}{y+1}$


Salu2, Jabato.