1r ciclo Duda con integrales

[CARLIN]

Hola, ¿cómo integro esta función?

[FONT=Arial]$\frac{tan x}{{cos}^{2 }x }$

Intenté empezar a integrar haciendo tan x . sec^-2 x pero no he identificado ninguna derivada.

Gracias![/FONT]

[The Higgs Particle]

Re: Duda con integrales

Si no me equivoco, $\frac{\dd tan(x)}{dx} = \frac{1}{cos^2(x)}$

Por lo tanto, en $\dst \int \frac{tan(x)}{cos^2(x)} dx = \dst \int \frac{1}{cos^2(x)} tan(x) dx$, tenemos: $\dst \int f'(x) \cdot f(x) dx = \frac{f^2(x)}{2} + C$

- - - Actualizado - - -

[FONT=Arial]Intenté empezar a integrar haciendo tan x . sec^-2 x pero no he identificado ninguna derivada.[/FONT]

Eso es! Vas bien (con la única corrección de que $sec(x) = \frac{1}{cos(x)} = cos^{-1}(x)$, y lo que tú pones, $sec^{-2}(x) = \left( \frac{1}{cos(x)} \right)^{-2} = cos^2(x)$).

Sólo te falta tener en cuenta que: $\frac{\dd tan(x)}{dx} = \frac{1}{cos^2(x)}$

Tal vez no lo has identificado directamente porque has aprendido que $\frac{\dd tan(x)}{dx} = tan^2(x) + 1$, pero en realidad es lo mismo: $tan^2(x) +1 = \frac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + 1 = \frac{sin^2(x) + cos^2(x)}{cos^2 (x)} = \frac{1}{cos^2(x)}$

[Richard R Richard]

Re: Duda con integrales

Excelente explicación The higgs Particle

Solo para redondear
han identificado $f(x)=\tan x$ que el resultado de la integral es $\dfrac{f^2(x)}2$ por lo que el resultado de integrar

$\dst\int \dfrac{\tan x}{\cos^2 x} \dd x = \dfrac{\tan^2 x}2+C$

por otra parte FIGHTER SIN FRONTERAS has vuelto a pegar una imagen de wikipedia al enunciado. Hazte un favor ya que le encuentras utilidad al foro, evita sanciones y conserva tu membresía haciendole caso a las sugerencias de los moderadores. No se cual es el motivo por el cual te es dificil aprender Latex, pero viendo casos como el tuyo, ayer cree un hilo para que puedas aprender a traer las fórmulas de wikipedia correctamente.Trata de corregir este hilo también.

[Mossy]

Re: Duda con integrales

Hola,

Aunque el método de The Higgs Particle es estupendo, dejo otro método de resolución. Sabiendo que

$<br /> \displaystyle \int \frac{\tan x}{\cos ^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos ^3 x} dx$

Haciendo el siguiente cambio de variable

$\displaystyle \cos x = t \Rightarrow - \sin x \; dx = dt$

Tenemos la siguiente integral

$\displaystyle \int \frac{\sin x}{\cos ^3 x} dx = - \int \frac{dt}{t^3}$

Que es inmediata; sólo habría que deshacer después el cambio de variable

Saludos

[CARLIN]

Re: Duda con integrales

Saludos Richard, la ecuación que introduje no es una imagen, eso lo escribí con LATEX, te lo puedo asegurar. Esto es lo que puse:[FONT=Arial]$\frac{tan x}{{cos}^{2 }x }$ [/FONT]

[Richard R Richard]

Re: Duda con integrales

Hola FIGHTER veo que es una fórmula, pero por alguna razón al hacer doble click me surgen algunos errores de formato, (me queda fuera de pantalla y no la puedo ver, recien lo noto) me alegro que te animes, y que te haya servido el hilo

Volviendo al hilo ,la constante de integración del método de Mossy y la del de THP difieren en una unidad, pero ambas soluciones son correctas. Saludos