Otras carreras Demostración del Rotacional

[danielandresbru]

Hola, quisiera saber si alguien sabe alguna demostación del rotacional, es decir, algo en donde se demuestre que el rotacional indica la tendencia a giros de un campo vectorial, y el porqué si el rotacional de un campo siempre, entonces dicho campo se puede expresar como el gradiente de un campo escalar. Se que se puede definir un operador nabla $\vec{\nabla}=(\frac \partial {\partial x} , \frac \partial {\partial y}, \frac \partial {\partial z})$ , y que para el rotacional del campo se haría $\vec{\nabla} \times \vec{E}$, pero en donde he buscado todavía no consigo el porqué de esta epresión. Muchas gracias de antemano

[Samir M.]

Re: Demosración del Rotacional

Hola.

No sé si habrá algún 'teorema' explicitando tal resultado, pero, haremos nuestra propia demostración de donde se desprenderá lo que dices. Para ello, consideremos un campo vectorial suave $\bf{F}$. Por campo vectorial suave entenderemos que es una aplicación $F : S \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ dada por ${\bf{f(x)}} = (f_1({\bf{x}}), f_2({\bf{x}}), \dots, f_m({\bf{x}}))$ donde $f_i : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ con $f_i \in C^{\infty}\ \ \forall i$. Es decir, ${\bf{f(x)}}$ es de clase infinita, lo que implica que todas sus derivadas parciales de todo orden existen y son continuas. Sea $C$ la circunferencia de radio $\epsilon$ centrada en $P$. $C$ es naturalmente la frontera de un conjunto $U$. A este conjunto $U$ junto con la frontera $C$ le llamaremos 'disco $\mathcal{D}$'. Supongamos que este disco tiene una normal unitaria $\hat{\bf{N}}$ orientada de forma congruente con el sentido de $C$. Vamos a centranos en el caso de campos vectoriales bidimensionales, por simplicidad. Entonces, establecemos el siguiente resultado que es el resultado matemático de que el 'rotacional indica la tendencia a giros de un campo vectorial':

$\displaystyle \lim_{\epsilon^+ \to 0}{\dfrac{1}{\pi \epsilon^2}\oint_C {\bf{F}} \cdot d{\bf{r}}} = \hat{{\bf{N}}} \cdot \nabla \times {\bf{F}} (P)$

Es decir, que el rotacional de un campo vectorial es una especie de medida de la circulación por unidad de área. Veamos la demostración de este teorema.

Dem.

La circunferencia $C$ de radio $\epsilon$ centrada en $P$ es la frontera (orientada) del disco $\mathcal{D}$ de área $\pi\epsilon^2$ con normal unitaria $\hat{\bf{N}}$. Por el teorema de Stokes:

$\displaystyle{ \begin{aligned} \oint_C {\bf{F}} \cdot d {\bf{r}} &= \iint_{\mathcal{D}} \nabla \times {\bf{F}} \cdot \hat{{\bf{N}}} dS = \iint_{\mathcal{D}} \nabla \times {\bf{F}}(P) \cdot \hat{{\bf{N}}} dS + \iint_{\mathcal{D}} (\nabla \times {\bf{F}} - \nabla \times {\bf{F}}(P)) \cdot \hat{{\bf{N}}} dS \\ &= \pi \epsilon^2 \nabla \times {\bf{F}}(P) \cdot \hat{{\bf{N}}} + \iint_{\mathcal{D}} (\nabla \times {\bf{F}} - \nabla \times {\bf{F}}(P)) \cdot \hat{{\bf{N}}} dS \end{aligned}}$

Pero $\bf{F}$ es un campo vectorial suave luego su rotacional es continuo en $P$, por lo que

$\displaystyle \begin{aligned} \left | \dfrac{1}{\pi \epsilon^2} \oint_C {\bf{F}} \cdot d {\bf{r}} - \nabla \times {\bf{F}}(P) \cdot \hat{{\bf{N}}} \right | &\leq \dfrac{1}{\pi \epsilon^2} \iint_{\mathcal{D}} \left | \left ( (\nabla \times {\bf{F}} - \nabla \times {\bf{F}}(P)\right ) \cdot \hat{{\bf{N}}} \right | dS \\ &\leq \underbrace{\max}_{Q \in \mathcal{D}} \left | \nabla \times {\bf{F}}(Q) - \nabla \times {\bf{F}}(P) \right | \to 0 \text{ cuando } \epsilon \to 0^+ \end{aligned}$

[Error LaTeX: Fórmula vacía]

debido a la continuidad citada (conforme $\epsilon \to 0$ $Q$ se acerca a $P$) luego

$\displaystyle \lim_{\epsilon^+ \to 0}{\dfrac{1}{\pi \epsilon^2} \oint_C {\bf{F}} \cdot d {\bf{r}} = \nabla \times {\bf{F}}(P) \cdot \hat{{\bf{N}}}$

como se quería demostrar.

Esto se puede demostrar de otra forma: cogiendo series de Taylor de varias variables, pero es un poco más rollo. La idea es básicamente hacer un desarrollo de Maclaurin del campo, aprovechar las simetrías del campo (para ello integra las distintas componentes, varias de ellas te saldrán nulas y luego aplica el límite $\epsilon \to 0$.

Saludos.