Otras carreras Parametrizar una curva e R3

[danielandresbru]

Hola quisera saber como podría parametrizar la siguiente curva. Me dicen quela curva es la intersección de del cilindro $x^2 +y^2=a^2$ y el plano $z<br /> =a+y$ en el sentido antihorario. Muchas gracias de antemano

[visitante20160513]

Re: Parametrizar una curva e R3

La mas sencilla es considerar que la coordenada $y$ es el parámetro, de esta forma las coordenadas paramétricas de la curva serían:

$x=\pm\sqrt{a^2-t^2}\qquad\qquad y=t\qquad\qquad z=a+t$

que tendrá dos ramas, una con $x$ positiva y otra negativa. Curva que se recorre cuando $t$ varía entre $[-a,a]$


Otra forma es por ejemplo proyectar la curva sobre el plano XY, trazar las paramétricas de la proyección en el sentido pedido (antihorário) y luego determinar la tercera coordenada, $z$:

$x=aCos(t)\qquad\qquad y=aSen(t)\qquad\qquad z=a+aSen(t)$

Salu2, Jabato.

[Richard R Richard]

Re: Parametrizar una curva e R3

Si usas de parámetro a la variable $t$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


entonces

$c(t)=[a \cos t,a\sin t,a(1+\sin t)]$

[danielandresbru]

Re: Parametrizar una curva e R3

Y pudo haber sido z=a(1+ cos(t))?

[Alriga]

Re: Parametrizar una curva e R3

Y pudo haber sido z=a(1+ cos(t))?

Sí, es otra parametrización posible, pero entonces también hay que cambiar la "x" y la "y":

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Se pasa de una parametrización a otra cambiando $t \ \rightarrow \ t-\dfrac{\pi}{2}$

La parametrización que te han señalado Jabato y Richard es la natural, en la que el ángulo "t" empieza a contarse desde el eje "x" en sentido antihorario.
Esta otra no es "natural" pero es aceptable, puesto que cada uno puede empezar a contar el ángulo desde donde le de la gana.

Saludos.

[danielandresbru]

Re: Parametrizar una curva e R3

Hola alriga, veía que si definía la x y la "y" así, la z tendría que ser periódica, pero no veo de donde sale z=a(1+ sent)

[visitante20160513]

Re: Parametrizar una curva e R3

Pues, como la curva pertenece al plano, debe satisfacer su ecuación, por lo tanto:

$z=a+y=a+aSen\, t=a(1+Sen\, t)$

substituyendo $y$ por su expresión paramétrica.

Salu2, Jabato.

[danielandresbru]

Re: Parametrizar una curva e R3

Muchas gracias Jabato

[Alriga]

Re: Parametrizar una curva e R3

Hola alriga, veía que si definía la x y la "y" así, la z tendría que ser periódica, pero no veo de donde sale z=a(1+ sent)

Cualquier parametrización correcta debe cumplir la definición de la curva, es decir se debe cumplir:

$x^2 +y^2=a^2$

$z=a+y$

Ello te obliga a que $z-y=a$

Saludos.