Otras carreras cambio de variable para obtener una EDO lineal

[Visitante]

Hola de nuevo chicos,

Tengo la siguiente ecuación diferencial:
$y'-x^5e^xy=\frac{4}{x} y \ln y$

y me dicen que haciendo el cambio $u=\ln y$ puedo obtener una EDO lineal sin embargo no sé si estoy haciendo bien el cambio pero no soy capaz. Alguien me podría indicar cómo debería quedar la ecuación para así yo a partir de aí continuar con la resolución del ejercicio?

Un saludo

[Alriga]

$y'-x^5 \ee^x y=\dfrac 4 x y \ln y \qquad \rightarrow$

$$\dfrac{y'}y-\dfrac 4 x \ln y=x^5 \ee^x$$

El cambio propuesto es:

$$\ln y=u$$

$\dfrac{d u}{d x}=\dfrac 1 y \ y' \qquad \rightarrow$

$$\dfrac{y'}y=u'$$

Sustituyendo (2) y (3) en (1) obtenemos

$$u'-\dfrac 4 x u = x^5 \ee^x$$

Que es una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden. Se resuelve recordando que un factor integrante es:

$\dst \mu (x)=\ee^{\int \frac{-4}x dx}=\dfrac 1{x^4}$

Y que se cumple que:

$u\cdot \mu (x)=\dst \int x^5\ee^x \mu (x) dx$

Por lo tanto, integrando por partes:

$u=x^4\dst \int x \ee^x dx=x^4\Big ( (x-1)\ee^x + c\Big )$

$u(x)=x^5 \ee^x-x^4 \ee^x+c x^4$

Deshaciendo el cambio de variable:

$y(x)=\ee^{(x^5 \ee^x-x^4 \ee^x+c x^4)}$

Saludos.