Parametrización de curvas y rectas

[cogujada]

Hola, tengo un grave problema. Un gravísimo problema diría yo. Uno es que no sé parametrizar curvas, y otro es que sé parametrizar rectas, pero no sé hallar los valores entre los que se mueve el parámetro.

• Parametrización de una recta:

Imaginen un segmento, por ejemplo el segmento que va desde A: (2, 5) hasta B: (8, 6)∀ t ϵ ℝ
x = 2 + 6t
y = 5 + t


Bien, aquí viene el problema. Si por ejemplo necesitase parametrizar ese segmento para hallar una integral de línea, necesitaría saber qué valores puede tomar el parámetro t (y así encontrar los límites de integración). El año pasado, en 2º Bach fue cuando aprendí a encontrar rectas paramétricas, pero eran rectas infinitas (∀ t ϵ ℝ)
Ahora se me complica, ya que el segmento no es infinito, es finito. Y claro, con respecto a x va desde 2 a 8, con respecto a y va de 5 a 6 (etcétera), pero no sé hallar el entorno por el que se mueve el parámetro.

• Parametrización de una curva:

Bueno, aquí llega el otro problema, diría yo que más grave (si cabe que el anterior). Evidentemente sé parametrizar la curva de una circunferencia y de una elipse. Pero cuando me pones una curva del estilo de y=x² , y=8x^0.5 (y más complicadas) no sé qué hacer. Me he visto miles de vídeos en Youtube, pero no lo entiendo. He leído apuntes y tampoco. Es un vacío que tengo (que tenemos, más bien, ya que incluyo a mis compañeros de clase). Ya que tenemos dos profesores que imparten esta materia, y uno pensaba que lo explicaba el otro, y el otro pensaba que lo explicaba el uno. Conclusión, nadie lo explicó, tampoco pedimos que se explicase ya que yo (en mi caso) pensaba que sabría hacerlo sin necesitar que nadie me lo explicase (la realidad es que no), y a mis compañeros, digamos, que no les importa mucho esto (ya que en verdad no es algo que te vaya a hacer aprobar o suspender). Lo cierto es que me preocupa, no por aprobar o suspender, sino por mi formación, que es la que está en juego.
Alguien sabría decirme algunos consejos para parametrizar una curva. Os pongo, por ejemplo, la parametrización de y=x³ (según mi profesor es (t,t³) ∀ t ϵ [0,1]) y la curva y=x^0.5 (según mi profesor es ((1-t)²,1-t) ∀ t ϵ [0,1]). He de destacar que estos ejemplos que os he puesto formaban una región (limitada por ambas curvas). La verdad es que imagino que la segunda parametrización es así ya que está limitada por el intervalo en el que se mueve la t.

A ver si alguien me puede echar, no una mano, un brazo entero.

Gracias de antemano.

[Al2000]

El rango de valores que puede tomar el parámetro lo eliges tu, no es algo que este escrito en piedra. Lo más usual es tomar el parámetro variando entre 0 y 1 pero cualesquiera otros extremos son igualmente válidos (aunque no necesariamente más cómodos); por ejemplo, no es raro tomar el parámetro variando entre 0 y un múltiplo o submúltiplo de $\pi$ cuando se involucran funciones trigonométricas.

¿Una forma genérica para parametrizar una curva? Dudo que exista... los dos ejemplos que pones ya están parametrizados si consideras $x$ o $y$ como el parámetro. Hacer la parametrización $x = t$ o $y = t$ es una majadería.

El segundo ejemplo que pones es más interesante si lo escribes como $y^2 = x$, pues ahora $y$ puede tener dos valores diferentes para un mismo valor de $x$, y no podríamos usar $x$ como parámetro (pero si $y$) si queremos abarcar las dos ramas de la relación. La curva (que es una parábola que abre según +X) podría parametrizarse tomando $(t^2,t)\, \forall \, t \in [-1,1]$ para recorrer toda la parábola desde (1,-1) hasta (1,1) y si fuese deseable se podría escalar el parámetro para llevarlo al rango [0,1] (bastaría sumar 1 y dividir entre 2).

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[cogujada]

El rango de valores que puede tomar el parámetro lo eliges tu

Pero si lo que estoy calculando es la integral de línea, no es lo mismo tener unos límites de integración de 0 a 10000 que de 0 a 1 no?
O sea, te pongo este ejemplo:

Sea F(x,y,z) = (x² , -xy, 1). Calcule la integral de línea de F a lo largo de la recta que une (0,1,0) y (0, 0, 1).

Bien, en este caso, parametrizo esa recta, y lo que marca los límites de integración es el intervalo en el que se mueve el parámetro. No es lo mismo que los límites sean desde 0 hasta 1 que desde 0 hasta 100. Me entiendes?

[Al2000]

Si parametrizas la recta como (0,-t,t) y corres el parámetro desde t=0 hasta t=1, entonces recorres todo el segmento desde el primer punto hasta el segundo integrando en t desde 0 hasta 1. Pero si te sientes creativo y parametrizas el segmento como (0,-t/10000,t/10000), al evaluar la integral variando t desde 0 a 10000 recorrerás exactamente la misma trayectoria. ¿Cierto?

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD: Le añadí la etiqueta parametrización a tu mensaje original. Si haces click en ella, tendrás acceso a muchos hilos que tratan el tema. Hay un hilo en particular (Paremetrización) en el que participé hace casi una década donde aparecen distintos intervalos para el parámetro. Tal vez tengas la paciencia de leerlo

[cogujada]

PD: Le añadí la etiqueta parametrización a tu mensaje original. Si haces click en ella, tendrás acceso a muchos hilos que tratan el tema. Hay un hilo en particular (Paremetrización) en el que participé hace casi una década donde aparecen distintos intervalos para el parámetro. Tal vez tengas la paciencia de leerlo

Ahora me lo leo, gracias.
En cuanto a lo otro, sí y no. O sea, si yo te digo la siguiente recta (cuyo punto final es A: (5, 10, 20) y cuyo punto inicial es B: (1, 1, 1)
Hallo el vector BA: (4, 9, 19)
Utilizo el punto B (1, 1, 1)
Escribo la recta:

x = 1 + 4t
y = 1 + 9t
z = 1 + 19t
¿El intervalo de t cuál sería?
O sea, si me pidiesen "la integral de línea de F (x, y, z) = (xy, zx, 0) a lo largo de la recta que une los puntos B (1, 1, 1) y A (5, 10, 20)"
¿Cuáles serían los límites de integración?

Porque yo me acuerdo que nuestro profe nos dijo que para un segmento, cuyo punto inicial es A y punto final es B, la parametrización puede ser s(t) = t·B + (1-t)·A (done t siempre, y digo siempre, variaría de 0 a 1). Pero es que no me gusta aprenderme fórmulas de memoria (aunque si no queda más remedio lo haré).

Por cierto, me sorprende que te acuerdes de un hilo de hace una década. Memoria de elefante. Tú ni olvidas ni perdonas

[Al2000]

En la parametrización que pones, $0 \leqslant t \leqslant 1$ y esos serían los límites de integración. En el segundo caso no indicaste el sentido, pero si el sentido se supone que es el opuesto, entonces tendrías que integrar de 1 a 0 o parametrizar la recta en sentido opuesto (5-4t, 10-9t, 20-19t) e integrar de 0 a 1.

Yo honestamente no veo ninguna razón para tener que memorizar la chuleta que pones al final, pero bueno, cada quien se rasca a su modo. Al fin y al cabo lo que estás haciendo es mapear la variación de x, y, z en t:

x: 1 --> 5 (longitud 4, punto inicial 1)
t: 0 --> 1 (longitud 1, punto inicial 0)
4t: 0 --> 4 (longitud 4, punto inicial 0)
4t +1: 1 --> 5 (longitud 4, punto inicial 1) ¡Eureka!

o si vas en sentido opuesto, por ejemplo y=10...1

y:10 --> 1
t: 0 --> 1
-9t: 0 --> -9
-9t + 10: 10 --> 1

Claro, uno no hace todos esos pasos explícitamente sino que simplemente se fija en cuanto es la variación de la variable y se la suma o resta, multiplicada por t, al extremo que corresponda. Al hacerlo así, siempre t está en el rango (0,1) pero nada obliga a dejarlo así y lo puedes escalar posteriormente si fuese necesario y/o deseable.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

[/LIST]Imaginen un segmento, por ejemplo el segmento que va desde A: (2, 5) hasta B: (8, 6)∀ t ϵ ℝ

Como te dice Al2000 el parámetro $t$ tu lo eliges,... en la frase que te marco ahora , ese $\forall t \in \mathbb R$ no puede se que $t$ tome valores en $-\infty$ o $+\infty$

en el caso que expones en el mensaje anterior cuando $t =0$ esta es en $B$ y en $t=1$ estas en $A$ y para todo valor intermedio de $t$ entre 0 y 1 estas dentro del segmento comprendido entre B y A

cualquier posición viene definida como $\vec X=\vec B +\vec{(B-A)} K t$

puedes elegir el valor de $K$ tan grande o pequeño como quieras , con la condición de que el producto $Kt$ siempre este entre 0 y 1 es decir

$t_{max}=\dfrac{1}{K}$

Ej
si $K = 1 \to t_{max}=1$

si $K = 0.001 \to t_{max}=1000$

si $K = 0.000001 \to t_{max}=1000000$

si $K = 1000 \to t_{max}=0.001$

Pero en realidad puedes escoger otras parametrizaciones que no empiezan en 0 y termine en 1,

$\dfrac{\vec X-\vec B}{\vec A-\vec B}=\dfrac{t-t_0}{t_1-t_0}$

eso define una relación lineal entre el parámetro t y la Posición X

pero puedes explorar funciones que relacionan el origen B y el final A con cualquier función continua de t , solo que las lineales son las mas simples y útiles.

[cogujada]

Claro, es que a mí me gusta aprenderme lo menos posible de memoria. Porque eso se olvida, sin embargo, si lo razonas, lo peleas, lo entiendes y lo comprendes... jamás se olvida.
Entonces a ver, que no me ha quedado claro. Sea cuál sea el segmento recto, al parametrizar utilizando el vector (punto final ~ punto inicial) y uno de los puntos, los límites siempre serán de 0 a 1?

[Richard R Richard]

Claro, es que a mí me gusta aprenderme lo menos posible de memoria. Porque eso se olvida, sin embargo, si lo razonas, lo peleas, lo entiendes y lo comprendes... jamás se olvida.
Entonces a ver, que no me ha quedado claro. Sea cuál sea el segmento recto, al parametrizar utilizando el vector (punto final ~ punto inicial) y uno de los puntos, los límites siempre serán de 0 a 1?

que sea 0 y 1 el final es caso particular donde aplicas


$\dfrac{\vec X-\vec B}{\vec A-\vec B}=\dfrac{t-t_0}{t_1-t_0}=\dfrac{t-0}{1-0}=t$

y desarrollando las igualdades primera y ultima

$\vec X-\vec B=t(\vec A-\vec B)$

que es lo que acostumbras hacer

fijate este ejemplo elijo $t_0=4$ y $t_1 =7$

$\dfrac{\vec X-\vec B}{\vec A-\vec B}=\dfrac{t-t}{7-4}=\dfrac{t-3}{4}$

$\vec X=\vec B+({\vec A-\vec B})\dfrac{t-3}{4}=(1, 1, 1)+[(5, 10, 20)-(1, 1, 1)]\dfrac{t-3}{4}=(1, 1, 1)+[t(1,\dfrac 94,\dfrac{19}4)]-(3,\dfrac{27}4,\dfrac{57}4)=$

$\vec X=(-2,-\dfrac{23}4,-\dfrac{53}4)+[t(1,\dfrac 94,\dfrac{19}4)]$

si no me equivoque en hacer rápido los cálculos. parametrizas con t entre 4 y 7 , pero no resulta muy cómodo o útil no?
.

[cogujada]

. parametrizas con t entre 4 y 7 , pero no resulta muy cómodo o útil no?

No, la verdad es que es bastante incómodo...