1r ciclo Suma de una serie

[alar]

Hola, tengo está serie y me piden su suma.
La serie:

$\frac{1}{2\cdot6}+\frac{1}{3\cdot7}+\frac{1}{4\cdot8}+\frac{1}{5\cdot9}+...=\sum_{n\geqslant 1} \frac{1}{(n+1)(n+5)}=\sum_{n\geqslant 1} \frac{1}{n^{2}+6n+5}$

Seguro que es una tontería pero sinceramente no soy capaz de sacarla, agradecería una ayudita.

[angel relativamente]

Re: Suma de una serie

Hola alar. La clave está en ver que $\dfrac{1}{(n+1)(n+5)}=\dfrac{1}{4(n+1)}-\dfrac{1}{4(n+5)}$. Ya sabes que en general este tipo de descomposiciones la puedes hacer buscando para qué valores $A,B$ se verifica que $\dfrac{1}{(n+1)(n+5)}=\dfrac{A}{n+1}+\dfrac{B}{n+5}$. De ahí tu serie se reduce a

$$\displaystyle \dfrac 14 \sum_{n\geqslant 1}\left( \dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+5}\right)$$

La cual es fácil ya que a partir de $n=4$ los términos se empiezan a anular.

Saludos!

[alar]

Re: Suma de una serie

Muchas gracias, la verdad es que cuando la vi pensé en una serie telescópica o algo de este estilo pero no caí en esto.