Teorema valor intermedio encontrar intervalos

[crishchess]

Hola tengo dudas con este ejercicio de teorema de valor intermedio.

Dado que $f(x)=x^5+2x-7$, demuestre que hay un número $c$ tal que $f(c)=50$


Me complica ya que no tengo intervalos para aplicar el teorema de valor intermedio.


Saludos

[Alriga]

Calcula, por ejemplo:

$f(2)=29 < 50$

$f(3)=242 > 50$

La función f(x) es una función polinómica y todas las funciones polinómicas son continuas. El teorema del valor intermedio te garantiza que existe $c \in (2, \ 3)$ tal que f(c)=50

Saludos.

[crishchess]

Pero por que elegiste el intervalo (2,3) se puede elegir otro intervalo?

[Richard R Richard]

Lo que tienes que preguntarte, es si la función es siempre creciente, (sabes como llegar a esa conclusion?) si lo es entre $-\infty$ e $\infty$, lo es para cualquier intervalo, luego por el TVM puedes asegurar que existirá un valor $c$ talque $f(c)=50$ ... es mas si eso sucede no importa si es $50$ o cualquier otro valor finito , podrás asegurarlo del mismo modo.

[crishchess]

Lo que tienes que preguntarte, es si la función es siempre creciente, (sabes como llegar a esa conclusion?) si lo es entre $-\infty$ e $\infty$, lo es para cualquier intervalo, luego por el TVM puedes asegurar que existirá un valor $c$ talque $f(c)=50$ ... es mas si eso sucede no importa si es $50$ o cualquier otro valor finito , podrás asegurarlo del mismo modo.

Para ver que es creciente habría que derivarlo y ver el criterio de la primera derivada?

Saludos

[Alriga]

Lo que tienes que preguntarte, es si la función es siempre creciente, ...

Nota que no es necesario que sea estrictamente creciente, aunque en este caso particular lo sea.

crishchess , es interesante recordar siempre por un estudiante, que las funciones polinómicas de grado impar, como son continuas y cumplen que $f(-\infty)=-\infty$ y que $f(+\infty)=+\infty$ , (o al revés, $f(-\infty)=+\infty$ y $f(+\infty)=-\infty$) entonces la imagen de la función es el conjunto de todos los números reales. Como corolario, los polinomios de grado impar siempre tienen al menos 1 cero real. El máximo número de ceros reales que pueden tener coincide con el grado del polinomio.

Nota además que en los polinomios de grado par, la imagen no puede ser nunca todos los números reales. Además hay polinomios de grado par que no tienen ningún cero, como por ejemplo $f(x)=x^4+1$ . El máximo número de ceros reales que pueden tener, coincide con el grado del polinomio.

Pero por que elegiste el intervalo (2,3) se puede elegir otro intervalo?

Para aplicar el teorema del valor intermedio en este ejercicio, puedes elegir cualquier intervalo (a, b) que cumpla que $f(a)<50$ y que $f(b)>50$ . En particular, si quieres, cuando tenemos como en este caso un polinomio de grado impar, puedes coger como intervalo todos los reales, como he explicado más arriba, ya que $f(-\infty)=-\infty<50$ y $f(+\infty)=+\infty >50$

Saludos.