Recta tangente y normal a la curva

[crishchess]

Hola tengo dudas con este ejercicio

La recta normal a la curva $y =\displaystyle\frac{2}{x}$en el punto $Q(1, 2)$ tiene pendiente $1$. Determinar las ecuaciones de las rectas normal y tangente a la curva en el punto $Q$.

- Recta normal

$y=mx+n$

$2=1 \cdot 1+1$
$2=1+n \Rightarrow{n=1}$

Por lo tanto la recta normal es $y=x+1$

- Recta tangente

Sabemos que la multiplicación de las pendientes de la recta normal con la recta tangente es $-1$

$m \cdot 1= -1 \Longrightarrow{} m= -1$

La ecuación de la recta tangente en el punto $Q$

$y=mx+n$
$2= -1(1) +n$
$2=-1+n \Rightarrow{} n=3$

Ecuación recta tangente: $y=-x+3$

Pero tengo dudas porque en el solucionario dice

$RT: \; y=2x+4$ y $RN: \; y=\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{3}{2}$


Saludos

[Al2000]

No se, yo veo dos cosas raras... primero, la pendiente de la tangente a la curva dada en $x=1$ vale -2 y no 1 como pone el enunciado. Segundo, si RT y RN son las rectas tangente y normal, el producto de sus pendientes debería ser -1 y no 1, según lo que pones al final. ¿Está todo correctamente transcrito?

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[crishchess]

Sí seguramente la guía tiene una errata.

Saludos

[Alriga]

La recta normal a la curva $y =\displaystyle\frac{2}{x}$ en el punto $Q(1, 2)$ tiene pendiente $1$.

Observa que eso no es correcto. Comprueba que la pendiente de la tangente es $y'(1) = - 2$, por lo tanto la pendiente de la normal es +1/2.

La ecuación de la recta tangente será:

$y=-2(x-1)+2$

Y la de la recta normal:

$y=\dfrac 1 2 (x-1)+2$

Saludos.