Teorema del valor medio

[crishchess]

Hola me piden encontrar los valores de c que satisfacen el teorema del valor medio en caso de haberlos de la función $f(x)=x^{1/3} -x$ ; $[-8,1]$

- La gráfica es la siguiente





Es decir en 0 no es derivable por lo tanto no cumpliría una condición del teorema de valor medio.

Mi duda es ¿Cómo argumento esto analíticamente sin observar la gráfica?

Saludos

[Richard R Richard]

Porque dices que no es derivable...?

$/cancel{f'(x)=x^{-\frac23}-1}$

$f'(x)=\dfrac{x^{-\frac23}}{3}-1$

Corregido gracias @alriga



Que el límite de la derivada tienda a infinito en el punto tienda a infinito no significa que la función original no sea derivable.

Entiendo que el teorema del valor medio solo pide que f sea continua en el intervalo.

Sea $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ una función Función continua en el Intervalo cerrado $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ con $a<b$ entonces existe al menos algún punto $c\in(a,b)$ tal que
:
$f'(c)=\dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}$

[Alriga]

Yo estoy de acuerdo con crishchess en que en este caso no se cumplen las condiciones para aplicar el teorema del valor medio. La función es:

$f(x)=\sqrt[3] x - x$

El Intervalo en el que nos piden aplicar el teorema del valor medio TVM es [a, b] = [-8, 1]

La derivada de la función es

$f'(x)=\dfrac 1{3\sqrt[3]{x^2}} - 1$

Para poder aplicar el TVM:

1. La función debe ser continua en el intervalo cerrado [-8, 1]. Y efectivamente lo es.
2. La función debe ser derivable en el intervalo abierto (a, b) = (-8, 1). Que una función sea derivable en un intervalo significa que debe ser derivable en todos los puntos de ese intervalo. Veamos que sucede en el punto $x=0 \in (-8, \ 1)$

$f'(0)=\dfrac 1{3\sqrt[3]{0^2}}-1$

Vemos que la derivada no existe en x=0. Por lo tanto el TVM no es aplicable a la función $f(x)=\sqrt[3] x - x$ en el intervalo [-8, 1]

Pero eso no implica que no pueda existir algún punto $c \in (a, \ b)$ en el que se cumpla:

$$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

Ya que el TVM es una condición suficiente para que se cumpla (A) en el intervalo abierto (a, b) pero no es una condición necesaria. Independientemente de que en este caso no se cumplen las condiciones de aplicación del TVM y por lo tanto no estamos seguros de si existirá, podemos buscar a ver si existe $c\in (-8, \ 1)$ viendo si tiene solución la ecuación:

$\dfrac 1{3\sqrt[3]{c^2}} - 1=\dfrac{\sqrt[3]{1} - 1 - (\sqrt[3]{-8} - (-8))}{1-(-8)}$

$\dfrac 1{3\sqrt[3]{c^2}} - 1=-\dfrac 2 3$

Operando obtenemos:

$c^2=1$

$c=\pm 1$

Observa que $c=1\notin (-8, \ 1)$ mientras que $c=-1\in (-8, \ 1)$

Saludos.

[Richard R Richard]

Más allá del despiste al derivar...

De manera informal, si pensamos en la gráfica de una función de dos variables f(x,y) como una "sábana", diremos que f es diferenciable si la "sábana" no tiene puntos donde está "quebrada". Sin embargo esta ilustración sirve para una función diferenciable en su dominio. La función puede ser diferenciable en un punto (a,b) y no asemejarse en nada a una sábana en ese punto.

Para mí no es el mismo caso que $f(x)=\dfrac{1}{x}$ dónde el límite por izquierda y por derecha es distinto y el TVM seguro no se puede aplicar.

El caso es que si en 0 la derivada no está definida no es aplicable el TVM por definición sin importar lo que yo crea o diga la wiki.
Aún asi es posible encontrar valores de c que satisfagan que la derivada de la función en c sea igual al valor de la pendiente de una recta que pasa por los extremos del intervalo.

[crishchess]

Muchas gracias a ambos fue un ejercicio me dejo muy claro la aplicación.


Saludos