Duda básica.

[javisot20]

Partiendo de,

$x=0$ , $x=0$

$x-1=0$ , $x=1$

$x-2=0$ , $x=2$



Ampliando,

$x^2-x=0$ , $x=1$

$x^2-x-1=0$ , $x=1,61803..$

$x^2-x-2=0$ , $x=2$



Ampliando,

$x^3-x^2-x=0$ , $x=1,61803..$

$x^3-x^2-x-1=0$ , $x=1,84$

$x^3-x^2-x-2=0$ , $x=2$



Ampliando,

$x^4-x^3-x^2-x=0$ , $x=1,84$

$x^4-x^3-x^2-x-1=0$ , $x=1,93$

$x^4-x^3-x^2-x-2=0$ , $x=2$


.
.
.
.
.
.
.



$....x^4-x^3-x^2-x=0$ , $x=1,99...$

$......x^4-x^3-x^2-x-1=0$ , $x=(?)$

$......x^4-x^3-x^2-x-2=0$ , $x=2$



(?) = ¿ Algo entre 1,9 periódico y 2 ?



(Existen métodos para extraer todos los valores posibles de x en cada pregunta pero simplemente estaba analizando la evolución de unos determinados, además dí valores redondeados por simplificar)


Doy por hecho estar utilizando mal la lógica pero no consigo ver dónde, conozco demostraciones de 1,99...=2 pero desde el principio parto de 3 preguntas diferentes con sus respectivas respuestas diferentes, ¿dónde fallo ?

Saludos y gracias de antemano.

[carroza]

Hola.

Recordando cosas de los numeros periodicos: Siempre pueden ponerse como numeros racionales.

1.1111111... = 10/9
1.222222.. = 11/9
......
1.9999999... = 18/9 = 2

Asi que tus ecuaciones tienen soluciones que tienden a 2. No le veo ningun problema, aunque me recuerda a la paradoza de Zenon, con Aquiles y la tortuga, solo que tu has metido un tercer corredor, más lento que Ulises y más rápico que la tortuga.

Saludos

[Alriga]

Nota que si r=0.1

a1=0.9
a2=a1*r=0.9*0.1=0.09
a3=a2*0.1=0.009
a4=a3*0.1=0.0009
.......

Entonces a1, a2, a3, a4,... son términos de una progresión geomètrica de razón r=0.1<1. Entonces la suma de todos los términos de la progresión es:

0.9+0.09+0.009+0.0009+ ... =0.9999...

Por otro lado es muy sencillo demostrar que la suma de una progresión geométrica infinita de |r|<1 es:

$S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}$

En nuestro caso:

$0.9999999\dots =\dfrac{0.9}{1-0.1}=\dfrac{0.9}{0.9}=1$

Por lo tanto "0.999999..." y "1" son dos formas equivalentes de escribir el mismo número.

Naturalmente lo mismo aplica para cualquier A.999999...=A+1

Saludos.

[javisot20]

Saludos , gracias por esa demostración que no conocía Alriga, ¿ dices que extrapole las demostraciones con 0,9..=1 a cualquier A+1?,

pero aún así persiste la duda de este ejemplo en concreto (creo que Carroza me ha entendido).


$....x^4-x^3-x^2-x=0$

$......x^4-x^3-x^2-x-1=0$

$......x^4-x^3-x^2-x-2=0$


Son tres preguntas obviamente diferentes ya que así lo he propuesto.

Entiendo que al tender sin límite estoy haciendo que los 3 valores de x se aproximen infinitamente al mismo valor, pero no puedo olvidar que son 3 preguntas diferentes con 3 respuestas diferentes en todo momento.





Lo arreglaría si tuviese números tipo,


$....x^4-x^3-x^2-x=0$ ,(( x = 1,[9periódico]8 ))

$......x^4-x^3-x^2-x-1=0$ , x = 1,9periódico

$......x^4-x^3-x^2-x-2=0$ , x = 2


1,[9periódico]8

Veo el problema de demostrar su construcción en un número finito de pasos y deacuerdo con las leyes de la aritmética...

[Richard R Richard]

$$....x^4-x^3-x^2-x=0$$

, $x=1,99...$

$$......x^4-x^3-x^2-x-1=0$$

, $x=(?)$

$$......x^4-x^3-x^2-x-2=0$$

, $x=2$

Hola a todos

la ecuación 3 es lo mismo que

$x^n-\dst\sum\limits_{i=0}^{n-1} x^i -1 =0$

cuando $x = 2$

$\dst\sum\limits_{i=0}^{n-1} x^i =2^n-1$

así que la ecuación queda

$2^n-(2^n-1)-1=0$

$2^n-2^n+1-1=0$

que verifica siempre,

$$\lim_{n \to \infty}\left [ \lim_{x\to 2} x^n-\dst\sum\limits_{i=0}^{n-1} x^i \right ] -1 =0$$

la ecuación 2 es la ecuación 4 sumada 1

$$\lim_{n \to \infty}\left [ \lim_{x\to 2} x^n-\dst\sum\limits_{i=0}^{n-1} x^i \right ]-1 +1=1\neq 0$$

la ecuación 1 es la ecuación 4 sumada 2

$$\lim_{n\to\infty}\left[ \lim_{x\to 2} x^n-\dst\sum\limits_{i=0}^{n-1} x^i \right ]-1 +2=2\neq 0$$

así que en mi opinión en las ecuaciones 1 y 2 x no tiende a 2 cuando n tiende a infinito, ya que llegaríamos a resultados contradictorios como

$1=0$ o $2=0$


Saludos

[javisot20]

así que en mi opinión en las ecuaciones 1 y 2 x no tiende a 2 cuando n tiende a infinito, ya que llegaríamos a resultados contradictorios como

$1=0$ o $2=0$

La 1 y la 2 no tienden a 2, ok (opino igual),

¿ por el mismo motivo de coherencia la 1 y la 2 entre si tampoco conducen al mismo número no ?


Estrictamente el resultado debe ser (1)<(2)<(3)?

[Richard R Richard]

La 1 y la 2 no tienden a 2, ok (opino igual),

¿ por el mismo motivo de coherencia la 1 y la 2 entre si tampoco conducen al mismo número no ?


Estrictamente el resultado debe ser (1)<(2)<(3)?

cuando n es finito, el valor de x que hace cero a la función cumple que $x_{f_{(1)}}<x_{f_{(2)}} <x_{f_{(3)}}=2$ entiendo que no es una única raíz en cada función , pero decir que el valor de x es 2 hace que no se cumpla la igualdad a cero tanto en 1 como en 2.


si usamos también

$\dst\sum\limits_{i=0}^{n-1} x^i =\dfrac{x^n-1}{x-1}$

podemos escribir la ecuación 3

$......x^4-x^3-x^2-x-2=0$


como

$x^n-\dfrac{x^n-1}{x-1}-1=0$

reordenando podemos ver que

$(x^n-1)-\dfrac{x^n-1}{x-1}=0$

sacando factor comun

$(x^n-1)\left(1-\dfrac{1}{x-1}\right)=0$

resolviendo

$(x^n-1)\left(\dfrac{x-1-1}{x-1}\right)=0$

$(x^n-1)\left(\dfrac{x-2}{x-1}\right)=0$

se ve que cuando x=2 se cumple la igualdad y tenemos un cero de función

si n es par y $x=-1$ también tenemos ceros de función

tanto si n es par como impar cuando $x=1$ tenemos una indeterminación 0/0

---

para la ecuación 2

llegaríamos a

$(x^n-1)\left(\dfrac{x-2}{x-1}\right)+1 =0$

que podemos escribir como

$\left(\dfrac{(x-2)(x^n-1)+(x-1)}{x-1}\right)=0$

y vemos que no habrá ceros ni en $x=-1$ ni en $x=2$ , pero persistirá la indeterminación 0/0 en $x=1$
pero entiendo que debe tener alguna raiz adicional

---

lo mismo ocurre con la ecuación 1

pero esa raiz adicional es claro que es el $x=0$

$\left(\dfrac{(x-2)(x^n-1)+2(x-1)}{x-1}\right)=0$


si miramos la ecuación del numerador

$(x-2)(x^n-1)+k=0$


se ve que (x-2) es negativo cuando $x<2$ y esto multiplica a un valor muy grande de $(x^n-1)$ que es positivo entre 1 y 2 , esa multiplicación da como resultado un numero negativo, y tendrá un cero distinto para cada $k$ positivo que escojas , evidentemente el cero de esa función no puede ser 2 a menos que k sea cero como sucede en la ecuación 3


osea $(x-2)(x^n-1)+k=0$ tiene raíces con valores dentro el intervalo abierto (1,2) para todo $k$ al menos natural mayor que 1 , pero no es $2$ ni $1.\overline 9$

[carroza]

Hola.

Las tres ecuaciones de Javisot pueden ponerse, para un n dado, como

$(a) f_n(x) + 2 = 0$
$(b) f_n(x) + 1 = 0$
$(c) f_n(x) + 0 = 0$

donde $f_n(x) = (x^n-1) - {(x^n - 1) \over x -1}$

Es obvio que x=2 es una solucion de (c), para cualquier n. Tambien parece obvio que, para un n determinado, las ecuaciones (a) y (b) tienen soluciiones distintas de x=2.

hay que darse cuenta que la función $f_n(x)$ tiene una derivada, en x=2, que se hace mayor conforme n se hace más grande. Por tanto, las soluciones de (a) y (b), se hacen más cercanas a 2, conforme n se hace más grande. En el limite de n infinito, las soluciones de (a) y (b) tienden a 2.

Con respecto al desarrollo de Richard, del #5, hat que tener cuidado que los limites $n \to \infty$ y $x \to 2$ no pueden intercambiarse. Primero hay que encontrar las soluciones de (a), (b), (c), para un $n$ finito, y luego comprobar que $x$ tiende a 2 conforme n se hace más grande. Hay que tener en cuenta que la función $f_n(x)$, no es derivable en x=2 cuando n tiende a infinito.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola.

Las tres ecuaciones de Javisot pueden ponerse, para un n dado, como

$(a) f_n(x) + 2 = 0$
$(b) f_n(x) + 1 = 0$
$(c) f_n(x) + 0 = 0$

donde $f_n(x) = (x^n-1) - {(x^n - 1) \over x -1}$

Es obvio que x=2 es una solucion de (c), para cualquier n. Tambien parece obvio que, para un n determinado, las ecuaciones (a) y (b) tienen soluciiones distintas de x=2.

hay que darse cuenta que la función $f_n(x)$ tiene una derivada, en x=2, que se hace mayor conforme n se hace más grande. Por tanto, las soluciones de (a) y (b), se hacen más cercanas a 2, conforme n se hace más grande. En el limite de n infinito, las soluciones de (a) y (b) tienden a 2.

Con respecto al desarrollo de Richard, del #5, hat que tener cuidado que los limites $n \to \infty$ y $x \to 2$ no pueden intercambiarse. Primero hay que encontrar las soluciones de (a), (b), (c), para un $n$ finito, y luego comprobar que $x$ tiende a 2 conforme n se hace más grande. Hay que tener en cuenta que la función $f_n(x)$, no es derivable en x=2 cuando n tiende a infinito.

Saludos

Totalmente claro y de acuerdo, con ir probando n =20 ya tenemos 1.99999.... las primeras 5 cifras significativas en 9 para x, así que es claro que tenderá a dos y muy rápidamente ,como dices para n finito, ese limite no es 2 ni será 1.9 periódico, parece que al incrementar n tenderá a 2, pero decir que será estrictamente 2 en a y b cuando n tienda a infinito nos lleva a una contradicción, o mas bien a una indeterminación pues $(c) f_n(x) + K = 0$ tendrá su cero de función en $x=2$ para todo K es decir , $f_n(x)=-K$ cualquiera sea K lo cual no es lógico. aquí usamos $K \in \mathbb N$, por lo que un polinomio de grado infinito podría tener infinitas raíces, pero podríamos hacer que $K \in \mathbb R$ y toda la recta de los reales debería tener un cero de la función en x=2 lo cual es contradictorio , pues hay un tipo de indeterminación $\infty-\infty$ que arroja cualquier resultado como posible.

$f_\infty(x) = (x^\infty-1) - {(x^\infty - 1) \over x -1}=\infty-\infty=indeterminado$

[carroza]

A ver, Richard, La definición del límite, https://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%A..._sucesi%C3%B3n , es un valor al que todos los elementos de la sucesión, a partir de un n determinado, se aproximan con una diferencia arbitrariamente pequeña.

Con ese concepto, si definimos la serie de valores $x_n(K)$ como los valores de x que son solucion de la ecuación $f_n(x) + K = 0$, entonces todas las series $x_n(K)$ tienen como limite x=2. No me importa que $f_\infty(x)$ sea indeterminado. De hecho, no debo hablar de tal cosa como $f_\infty(x)$. Solo debo hablar de $x_n(K)$ , y comprobar que es una serie cuyo limite es 2.

Saludos

[javisot20]

¿ No es correcto decir que la ecuación (3) tiende a 2, la ecuación (2) tiende a 1,9 periódico y la (1) a x simplemente ?,

decir que las tres tienden a 2 es una simplificación, ¿no?, cada una tiende a un número sino las ecuaciones deberian ser iguales y yo las he propuesto con determinadas diferencias que saltan a la vista.



(Poco después de poner la duda investigué sobre los números surrealistas, los cuales aún pudiendo contruirse acorde a las leyes de la aritmética, no pueden construirse en un número finito de pasos.)

[Richard R Richard]

Hola carroza, yo lo veo de otro modo,

sea $X(K_1)$ una sucesión de valores x que son solución a la ecuación

$(x^n-1) - {(x^n - 1) \over x -1}+K_1=0 \forall n\in [1,\infty)$

y $X(K_2)$ una sucesión de valores x que son solución a la ecuación

$(x^n-1) - {(x^n - 1) \over x -1}+K_2=0 \forall n\in [1,\infty)$

vemos claramente que las dos sucesiones son distintas termnino a termino pero tienen el supremo en común 2,

Para mi nunca serán iguales dos términos de la sucesión para el mismo n, hasta el infinito, y podemos decir que para ninguna de las dos el $2$ o $1.\overline 9$ sea un elemento de esa sucesión.

[carroza]

Hola.

Consideremos un problema más sencillo.

Tengamos las series: $a_n = 2 - {1 \over n+1}$ y $b_n = 2 - {1 \over n+3/2}$ .

Podeis decirme los limites de $a_n, b_n$, cuando $n \to \infty$?

Saludos

[javisot20]

https://youtu.be/aRUABAUcTiI

https://youtu.be/fHHM2dd-DL0

https://youtu.be/mPn2AdMH7UQ


infinito+1 es una operación que tiene sentido en los surreales y es diferente a infinito+3/2.

[Richard R Richard]

Hola quería estar seguro al contestar, podemos tener infinitas sucesiones convergentes diferentes con distintas funciones creadoras cuyo limite sea un valor predeterminado, en nuestro caso el 2, pero el valor del limite en el infinito de la función creadora no pertenezca a la sucesión.