Otras carreras Derivada direccional mínima

[JuanTara9705]

Buenas noches a la comunidad, vengo como hace poco a pedirles una ayuda o apoyo con estos dos ejercicios de cálculo de varias variables, he intentado pero no me da la solución o sea la respuesta que da el libro. Les estaría muy agradecido con cualquier aporte. ¡GRACIAS!

1. En qué dirección la derivada direccional de f(x,y) = xy²+$\sqrt{y}$ en el punto (0,1) es mínima?

[Alriga]

$f(x, \ y)=x y^2+\sqrt y$

Calculamos el gradiente:

$\nabla f=y^2 \ \hat i+\left (2 x y+\dfrac 1{2 \sqrt y} \right ) \ \hat j$

En el punto (0, 1)

$\nabla f(0, \ 1)=\hat i+\dfrac 1 2 \ \hat j$

La dirección en la que la derivada direccional es mínima, es la dirección contraria al gradiente:

$\vec v=-\hat i-\dfrac 1 2 \ \hat j$

Habitualmente una dirección se da mediante el vector unitario:

$\vert \vec v \vert=\dfrac{\sqrt 5}2$

Dividiendo por el módulo:

$$\hat v=-\dfrac 2{\sqrt 5} \ \hat i-\dfrac 1{\sqrt 5} \ \hat j$$

Saludos.

PD:

...he intentado pero no me da la solución o sea la respuesta que da el libro...

Por favor, cuando tu libro da solución, preferiríamos que también la pusieses aquí cuando redactas el enunciado. Gracias.