Otras carreras Extremos locales (máximos y mínimos) en una función de dos variables

[JuanTara9705]

Amigos, vengo a pedirles una ayuda por favor en este ejercicio de cálculo de varias variables, en el cual tengo dudas al resolverlo, agradezco si alguien puede dar la solución para saber si es la misma que la mía y que concluye. Muchas gracias!

- Encuentre los extremos locales (máximos y mínimos) y puntos silla de la función dada: $f(x,y)=xe^{-2(x^{2}+y^{2})}$

[Richard R Richard]

No sería mejor que postees lo que has intentado y tus dudas a que otro te lo resuelva

[JuanTara9705]

Richard R Richard ya tenía la solución solo quería saber si el máximo y el mínimo le daba cero a alguien también, porque no sabía que deducir que si los extremos locales de la función dan cero, pero ya me resolvieron las duras y se necesita utilizar otros métodos para determinar los puntos críticos. Muchas gracias igual!

[Richard R Richard]

Hola si creo que el punto es el (0,0) veo que no tienes dificultades para escribir en LATEX, si escribes tus planteos más completos la respuesta puede ser más directa e inmediata.

[Alriga]

...ya tenía la solución solo quería saber si el máximo y el mínimo le daba cero a alguien también...

No, el punto (0, 0) no es máximo ni mínimo. Para resolver el ejercicio primero se calculan las 2 primeras derivadas parciales:

$f(x, \ y)=x \ee^{-2(x^2+y^2)}$

$\dfrac{\partial f}{\partial x}=(1-4x^2) \ee^{-2(x^2+y^2)}$

$\dfrac{\partial f}{\partial y}=-4 x y \ee^{-2(x^2+y^2)}$

Igualamos a cero las derivadas parciales y como una exponencial no es nunca cero, obtenemos el sistema de ecuaciones:

$1-4x^2=0$

$-4 x y=0$

Cuyas soluciones son:

$x=\pm \dfrac 1 2 \qquad y=0$

Por lo tanto, los 2 puntos candidatos a punto singular son:

$\left (-\dfrac 1 2 , \ 0 \right )$

$\left (\dfrac 1 2 , \ 0 \right )$

Para comprobar la singularidad debemos calcular el determinante Hessiano compuesto por las derivadas segundas evaluadas en los puntos candidatos:

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=4 x (4x^2-3) \ee^{-2(x^2+y^2)}$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=\dfrac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}=4 (4x^2-1) y \ee^{-2(x^2+y^2)}$

$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=4 x (4y^2-1) \ee^{-2(x^2+y^2)}$

Los componentes de la matriz Hessiana son:

$h_1=\dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x^2}$

$h_2=\dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x \partial y}=\dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial y \partial x}$

$h_3=\dfrac{\partial^2 f(x_0)}{\partial y^2}$

El determinante Hessiano:

$H=\left \vert \begin{matrix} h_1 & h_2 \\ h_2 & h_3 \end{matrix} \right \vert = h_1 h_3-h_2^2$

a) Punto candidato $x_0=(-1/2, 0)$

$h_1=\dfrac 4{\sqrt{\ee}}$

$h_2=0$

$h_3=\dfrac 2{\sqrt{\ee}}$

$H=\dfrac 8{\ee}$

Como hemos obtenido $h_1>0$ y $H>0$ el punto (-1/2, 0) es un mínimo local.

b) Punto candidato $x_0=(1/2, 0)$

$h_1=-\dfrac 4{\sqrt{\ee}}$

$h_2=0$

$h_3=-\dfrac 2{\sqrt{\ee}}$

$H=\dfrac 8{\ee}$

Como hemos obtenido $h_1<0$ y $H>0$ el punto (1/2, 0) es un máximo local.

Como en ninguno de los 2 candidatos se cumple H<0, la función no tiene puntos "en silla de montar"

Saludos.

PD. Estaría muy bien que, como te aconseja Richard, nos explicases (en los nuevos ejercicios que plantees) con algo más de detalle lo que has hecho previamente, para poder aconsejarte mejor.

[Richard R Richard]

En la derivada respecto a x me comí el uno en lápiz y papel y llegue a cero como respuesta.

[JuanTara9705]

Muchas gracias Alriga por tu aporte y respuesta, y si pido disculpas tanto a Richard R Richard porque puede que no me hice explicar bien mis dudas, mejoraré para posteriores preguntas en el foro. De nuevo excelente foro y atención al instante a la comunidad.