Producto enteros consecutivos

[crishchess]

Hola estaba desarrollando una guía de números y me surgieron varias dudas. Empiezo con este ejercicio

Si $M= 3^{36}-3^{12}$, entonces ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) $M$ es el producto de enteros consecutivos.
II) La cifra de las unidades de$M$ es .
III) $M$ el múltiplo de $6$.

Según el solucionario son todas verdaderas.

Lo que he hecho:

I) $M= 3^{36}-3^{12} = 3^{12}(3^{24}-1)$ . Acá se ve que no son enteros consecutivos pues $3^{24}-1$ es mas grande que $3^{12}$ con lo cual el solucionario estaría errado.

II y III no se me ocurre que hacer.


Muchas gracias

[Richard R Richard]

Por ser potencias de 3 ambos términos de la resta son múltiplos de 3 , luego la resta también lo es.
Como 3 es impar los dos terminos son impares ,la resta de dos números impares es par y si es par es múltiplo de 2 . Al ser múltiplo de 2 y de 3 a la vez entonces es múltiplo de 6.

[Al2000]

Buen razonamiento.

Contribuyo con la primera respuesta: $\dst 3^{36} - 3^{12} = (3^{12}) (3^{24}-1) = (3^{12})(3^{12}+1)(3^{12}-1)$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

PD: Creo que la segunda proposición se puede responder aplicando diferencia de cubos al último factor arriba y viendo que es múltiplo de 10.

[crishchess]

Muchas gracias a ambos. No había visto la suma por su diferencia que aplicó Al2000.

Saludos

[Richard R Richard]

Otro aporte para ver si es producto de números consecutivos debes resolver la cuadrática

$N(N+1)-(3^{36}-3^{12})=N^2+N-3^{36}+3^{12}=0$

Saludos

[Weberger]

Enteros consecutivos: $(81^3-1)(81^3)(81^3+1)$. Esa es la opción (a). Todas son verdaderas.

[Richard R Richard]

La segunda es

$3^{36}-3^{12}=3^{12}(3^{24}-1)=$

$3^{12}(3^{12}+1)(3^{12}-1)=$

$3^{12}(3^{12}+1)(3^{6}-1)(3^{6}+1)=$


EL factor $3^{6}+1=730$ es múltiplo de 10 y y si un factor es múltiplo de 10 el producto también lo será .