Otras carreras Volumen de un sólido (integrales triples)

[CarlosG38]

Buenos días, quisiera pedirles un favor con este ejercicio que me tiene algo confundido al resolverlo por medio de integrales triples.

- Exprese el volumen del sólido que se muestra a continuación como una integral triple, y calcule dicho volumen.

El enunciado original es calcularlo por integración doble, el cual al resolverlo me ha quedado de la siguiente manera;

Las regiones de integración estarán comprendidas entre; $x \leq y \leq 2x$ ; $0 \leq x \leq 1$

entonces; $V= \int_{0}^{1} \int_{x}^{2x} \sqrt{1-x^{2}} dydx$

$V= \int_{0}^{1} (y \sqrt{1-x^{2}}) |_{x}^{2x}dx$ = $\int_{0}^{1} x \sqrt{1-x^{2}} dx$ = $- \frac{1}{3} (1-x^{2})^\frac{3}{2} |_{0}^{1} = \frac{1}{3}$

Por tanto: $V=\frac{1}{3} u^{3}$ (resultado).

Agradezco si alguien me puede explicar y/o ayudarme como puedo resolverlo por integrales triples si es igual o que cambiaría. Muchas gracias!!!

[Al2000]

Prácticamente igual. En efecto ya realizaste la integral en Z cuando dijiste que tu elemento de volumen tiene base $dx \; dy$ y altura $\sqrt{1-x^2}$. Convertir tu integral doble inicial en una integral triple sería simplemente reemplazar la raíz por $\dst \int_0^{\sqrt {1-x^2}} dz$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[CarlosG38]

Al2000 Quiere decir que sería la integral de la siguiente manera y calcular:

$V= \int_{0}^{1} \int_{x}^{2x} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \sqrt{1-x^{2}} dydxdz$

Este sería el orden de integración más fácil y correcto de aplicar en este ejercicio?
Si pudieses me podrías explicar como graficar en $R^{2}$ el sólido con el orden de integración que escogí.

Gracias por tu ayuda!!!
Nota: la función a integrar seguiría siendo la misma que cuando calcule por integrales dobles o será por definición de volumen: $1 dV$

[Al2000]

Me refería a

$$V= \int_0^1 \! \int_x^{2x} \!\!\! \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \!\! dz \; dy \; dx$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[carroza]

Una sugerencia: Estas integrales múltiples quedan más claras si se pone junto a cada simbolo integral el diferencial de la variable correspondiente.

[Al2000]

Cuestión de costumbre. Yo fui enseñado a interpretar esas integrales como integrales injeridas:

$$V= \int_0^1 \! \left [\int_x^{2x} \!\! \left [\int_0^{\sqrt{1-x^2}} \!\! dz \; \right ] dy \;\right ] dx$$