Otras carreras Volumen de un sólido (Integrales dobles)

[CarlosG38]

Buena tarde a todo la comunidad, por favor alguien me puede ayudar o explicar el siguiente ejercicio. Te agradezco!!!

- Encuentre el volumen del sólido que se encuentra comprendido por debajo de la superficie $z=16xy+200$ y arriba en la región del plano $xy$ acotado por $y=x^{2}$ y $y=8-x^{2}$

[delmar7]

Hola

Se ha de hacer un croquis del sólido, el cual esta encima del plano XY y limitado por cilindros parabólicos $y=x^2, \ \ y=8-x^2$ es conveniente graficar la región del plano XY limitada por ambas curvas, la primera es una parábola con vértice (0,0) abierta hacia arriba, la segunda es una parábola con vértice (0,8) abierta hacia abajo, las intersecciones entre ambas curvas son los puntos $(-2,2) \ \ y \ \ (2,2)$ esto implica que las abscisas de los puntos del sòlido cumplen $\vert x \vert \leq 2$, finalmente hay que observar que la región esta en el primer y segundo cuadrante del plano XY, es simétrica respecto al eje Y . Luego hay que analizar la superficie $z=16xy+200$ por secciones si $0 \leq z < 200$ las secciones son curvas semejantes a la hipérbola, que están en el segundo y cuarto cuadrante (valdrán las del segundo cuadrante), si $z=200$ las secciones son los paralelos a los ejes X e Y , si $z>200$ las secciones son curvas semejantes a la hipérbola que están en el primer y tercer cuadrante (asíntotas ejes paralelos a los ejes X e Y) se corresponden con el sólido solamente las del primer cuadrante, esto con un afán de visualizar, el sólido y entender que no es simétrico respecto al plano coordenado YZ; sin embargo la superficie es continua y esta definida para todo el plano XY, en consecuencia el integral será :

$\int_{-2}^{2} \ \int_{x^2}^{8-x^2} \ (16xy+200) \ dy dx$


Saludos

[Richard R Richard]

Me llama la atención que con una una integral doble se te proponga calcular un volumen , lo normal sería una integral triple, una integral por cada dimension del objeto, en este caso particular como el volumen esta acotado inferiormente por el plano xy o z=0, es decir la función inferior de z es nula (cuando podría en otro enunciado no serlo) entonces se aplica directamente la integral bajo la superficie superior porque coincide con el resultado de la integral triple.

Lo que quiero decir es que resolverías la misma integral de un modo mas general si se planteara como

$V=\dst \int\limits_{-2}^{2} \ \int\limits_{x^2}^{8-x^2} \ \int\limits_0^{16xy+200} \ dz dy dx$

Que luego de resolver la primer integral te llevará exactamente a la misma integral que te propone delmar7 que siguió al pie de la letra el espíritu del problema.

Pd Solo veo un gazapo de tipeo las intersecciones de las parábolas son (x,y)= (-2,4) y (2,4)

[delmar7]

Sí, Richard R Richard un error tipográfico las intersecciones de las parábolas son (-2,4) y (2,4),
Gracias por estar atento
Un saludo