Integrales dobles

[Alvarez039]

Hola buen día a todos, necesito ayuda para resolver este tipo de integral doble

$\displaystyle \int_0^4 \int_0^y \sqrt{9+y^2} \dd x \dd y$

[Alriga]

Hacer una integral doble es hacer 2 integrales simples una detrás de otra:

$\displaystyle \int_0^4 \int_0^y \sqrt{9+y^2} \dd x \dd y=\displaystyle \int_0^4 \left (\int_0^y \sqrt{9+y^2} \dd x \right ) \dd y=$

$=\displaystyle \int_0^4 \left ( \sqrt{9+y^2} \int_0^y \dd x \right ) \dd y=\int_0^4 \left ( \sqrt{9+y^2} \ \bigg [x \bigg]_0^y \right ) \dd y=\int_0^4 y \sqrt{9+y^2} \dd y$

Cambio de variable:

$u=9+y^2$

$\dd u=2 y \dd y$

$y \dd y=\dfrac{\dd u}2$

$\displaystyle \int y \sqrt{9+y^2} \dd y=\dfrac 1 2 \int \sqrt u \dd u=\dfrac{u^{3/2}}3$

Deshaciendo el cambio:

$\displaystyle \int_0^4 y \sqrt{9+y^2} \dd y=\Bigg [ \dfrac 1 3 (9+y^2)^{3/2}\Bigg ]_0^4=\dfrac 1 3 (5^3-3^3)=\dfrac{98}3=32.6667$

Saludos.