1r ciclo encontrar f a partir de unas características (ecuación diferencial elemental)

[franco_c2]

Hola, este problema es del Stewart (cálculo de una variable) y dice mas o menos lo siguiente:

Encontrar la función $f(x)$ que satisface las siguientes características: $f(0)=1$ , $f'(0)=1$ , y $f(a+b)=f(a)f(b)$
$a$ y $b$ son números reales

¿Cómo se resuelve esto?

[Zorak]

Re: encontrar f a partir de unas características (ecuación diferencial elemental)

La función en que el valor en un punto y el valor de su derivada en un punto coinciden es la exponencial....

[angel relativamente]

Re: encontrar f a partir de unas características (ecuación diferencial elemental)

La función en que el valor en un punto y el valor de su derivada en un punto coinciden es la exponencial....

No exactamente. Siendo más precisos, la función en la que el valor en CUALQUIER punto coincide con el de su derivada en dicho punto es UNA exponencial. Es importante decirlo porque si solo lo impones en un punto, como te dicen las condiciones (i) y (ii) que franco pone, no tiene por qué verificarse (por ejemplo la función $f(x)=x+1$ verifica (i) y (ii)).
La exponencial $f(x)=e^x$ es, efectivamente, la única función que verifica $f'(x)=f(x)$ y $f(0)=1$ (si no impones esta segunda condición, valdría cualquier función de la forma $f(x)=Ae^x$, con A constante). Por tanto, bastará ver que en efecto las 3 condiciones que da el problema coinciden con estas 2 para probar que la solución es $f(x)=e^x$ y es única. Ya nos dice el enunciado que $f(0)=1$. Por otro lado, la condición $f(a+b)=f(a)f(b)\; \forall a,b$ es equivalente a que la función $f(x)$ verifique $f(x+c)=f(x)f(c)$, y derivando esta expresión ($f(c)$ es una cte) se tiene que $f'(x+c)=f'(x)f(c)\; \forall c$. Evaluandola en cero llegamos a $f'(0+c)=f'(c)=f'(0)f(c)=f(c) \; \Rightarrow \; f'(c)=f(c)\; \forall c$ como queríamos demostrar.

Espero que se haya entendido el razonamiento.
Saludos,

[Zorak]

Re: encontrar f a partir de unas características (ecuación diferencial elemental)

No exactamente. Siendo más precisos, la función en la que el valor en CUALQUIER punto coincide con el de su derivada en dicho punto es UNA exponencial. Es importante decirlo porque si solo lo impones en un punto, como te dicen las condiciones (i) y (ii) que franco pone, no tiene por qué verificarse (por ejemplo la función $f(x)=x+1$ verifica (i) y (ii)).
La exponencial $f(x)=e^x$ es, efectivamente, la única función que verifica $f'(x)=f(x)$ y $f(0)=1$ (si no impones esta segunda condición, valdría cualquier función de la forma $f(x)=Ae^x$, con A constante). Por tanto, bastará ver que en efecto las 3 condiciones que da el problema coinciden con estas 2 para probar que la solución es $f(x)=e^x$ y es única. Ya nos dice el enunciado que $f(0)=1$. Por otro lado, la condición $f(a+b)=f(a)f(b)\; \forall a,b$ es equivalente a que la función $f(x)$ verifique $f(x+c)=f(x)f(c)$, y derivando esta expresión ($f(c)$ es una cte) se tiene que $f'(x+c)=f'(x)f(c)\; \forall c$. Evaluandola en cero llegamos a $f'(0+c)=f'(c)=f'(0)f(c)=f(c) \; \Rightarrow \; f'(c)=f(c)\; \forall c$ como queríamos demostrar.

Espero que se haya entendido el razonamiento.
Saludos,

Si efectivamente,cuando escribí función exponencial me refería a $f(x)=e^x$, en mi apuro no fui muy claro.Y en cuanto el desarrollo , bastante claro y completo que realizaste,también puedes argumentar que por las propiedad de productos de potencia de igual base , en este caso tenemos base e, la ultima propocicion se cumple,sin recurrir a derivadas... Saludos