1r ciclo perro persigue a conejo (ecuación diferencial)

[franco_c2]

Hola, me encuentro en dificultades con este problema
[FONT=Times-Roman]
Un perro ve un conejo que corre en línea recta en un campo abierto y lo persigue. En un sistema
coordenado rectangular (como el mostrado en la figura), suponga:
(i) El conejo está en el origen y el perro en el punto $(L,0)$ en el instante en que el perro [/FONT]ve por vez primera al conejo.
(ii) El conejo corre en la dirección positiva del eje Y [FONT=Times-Italic],[FONT=Times-Roman]y el perro siempre directo hacia el conejo.[/FONT][/FONT][FONT=Times-Italic][FONT=Times-Roman]
(iii) El perro corre con la misma rapidez que el conejo.
(a) Muestre que la trayectoria del perro es la gráfica de la función , donde satisface
la ecuación diferencial

[/FONT][/FONT]$x\frac{{d}^{2}y}{d{x}^{2}}=\sqrt{1+{\left( \frac{dy}{dx} \right)}^{2}}$



lo que razoné fue esto:



pero también es igual a la distancia recorrida por el perro desde entonces: que es la longitud del arco desde hasta

igualo, derivo, y me da

Casi, pero no. ¿qué es lo que está mal en mi planteamiento?. (Aclaro que este problema es del Stewart, un capítulo antes de ver coordenadas paramétricas, así que como vengo estudiando el libro debería poder resolverlo solo con la forma rectangular)

[Umbopa]

Re: perro persigue a conejo (ecuación diferencial)

mmm...

Tal y como esta la gráfica $b = f(x) - x f'(x)$, fíjate bien ($f'(x)$ es negativa). (Con esto se suprime el $2 y'$ del numerado y te sale el resultado correcto)

Y la derivada de la longitud de arco la tienes que hacer con un signo menos adicional porque cuando disminuyes x aumenta la longitud y no al revés, es decir:


$- \sqrt{1+f'(x)^2} = f'(x) -f'(x)- x f''(x)$