Secundaria Integral

[Visitante]

Buenas,

Tengo que demostrar lo siguiente:
${\int}^{\theta }\frac{\dd \phi}{\cos \phi}=ln(\dst\frac{1 + \tan (\theta /2)}{1 - \tan (\theta /2) })$

Sé que se hace por substitución pero no sé cómo conseguirlo ¿me pueden dar alguna pista?

Gracias,
Malevolex

[Alriga]

Re: Integral trigonométrica

Tengo que demostrar lo siguiente:
${\int}^{\theta }\frac{\dd \phi}{\cos \phi}=ln(\dst\frac{1 + \tan (\theta /2)}{1 - \tan (\theta /2) })$

1. Si te piden demostrarlo y te dan el resultado, lo más fácil es derivar el 2º miembro y ver que se obtiene el radicando.

2. Para resolver integrales trigonométricas con senos y cosenos, un cambio de variable muy típico que suele funcionar es:

$\tan \dfrac{\phi}{2}=t$

Con ello:

$\cos \phi=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

$d\phi=\dfrac{2}{1+t^2} \ dt$

Y el seno, (que en este caso no se utiliza), es:

$\sin \phi=\dfrac{2 \ t}{1+t^2}$

Con este cambio, esta integral queda convertida en una integral tipo "fracción racional" sencilla. En este caso tan sencilla que es inmediata

$\dst \int \dfrac{\dd \phi}{\cos \phi}=2 \int \dfrac{dt}{1-t^2}=2 \ argtanh \ t$

Saludos.

PD. Aplicando la definición de la función inversa de la tangente hiperbólica el resultado se puede expresar de forma más sencilla como:

$\ln \left ( \dfrac{1 + \tan \dfrac{\theta}{2}}{1 - \tan \dfrac{\theta}{2}} \right )=2 \cdot argtanh \left (\tan \dfrac{\theta}{2} \right )$