Estudiar la continuidad de la función f : R 2 → R.

[jdcc]

Sea f : R 2 → R dada por f(x, y) = (x^5 seny)/(x^2+y^2) si (x, y) es distinto de (0,0), 0 si (x, y) = (0,0).

[delmar7]

Hola

Es conveniente que escribas en LATEX, para que se entienda mejor el enunciado :

$f: R^2 \rightarrow R$

si (x.y) distinto de (0,0), $f(x,y)=\frac{x^5 \ sen y}{(x^2+y^2)}$

si (x,y)=(0,0), f(x,y)=0

Ahora se entiende mejor.Una función de dos variables es continua si y solo si $\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=f(0,0)=0$ en este caso (por ser nulo), ese límite equivale a $\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}|f(x,y)|=0$ considerando esto se tiene :

$x^2\le x^2+y^2 \Rightarrow \frac{x^2}{x^2+y^2} \le 1\Rightarrow 0\le| \frac{x^5 \ sen y}{x^2+y^2} | \le |x|^3 \ |sen y|$

$|x|^3, \ \ |sen y|$ como funciones de dos variables son continuas en (0,0), luego el producto es continuo también, entonces aplica la regla del sandwich y encuentras el límite y puedes sacar tus conclusiones.

Saludos