1r ciclo Cómo demostrar por inducción que n^2 < 2^n

[paaatry15]

Hola! Tengo serias dudas con la inducción. Intentando resolver este ejercicio he llegado a esto.

Partiendo de que n² < 2ⁿ (naturales)

Para [n=0]: 0<1 es cierto
Para [n=m]: m² < 2^m (Hipótesis de inducción)
Para [n=m+1]: (m+1)² < 2^(m+1)

Entonces empiezo diciendo que:

2^m > m²
2*2^m > 2*m²
2^(m+1) > 2*m²

Y aquí me quedo, no consigo entender como debo seguir con la inducción para demostrar esta desigualdad.
Cualquier ayuda es bien recibida. Mil gracias!

[alexpglez]

Re: Cómo demostrar por inducción que n^2 &lt; 2^n

Si consigues demostrar $2m^2 >= (m+1)^2$ ya lo tienes demostrado.
Saludos

[carroza]

Re: Cómo demostrar por inducción que n^2 &lt; 2^n

Es difícil demostrar por inducción algo que es falso:

n=3; 9<8 ???

Saludos

[angel relativamente]

Re: Cómo demostrar por inducción que n^2 &lt; 2^n

Hola, con respecto a la aclaración de Carroza creo recordar que este enunciado es cierto para $n>4$, ¿seguro que no te han puesto esa condición?
En caso afirmativo el primer paso es probarlo para n=4 y no para n=0.

[paaatry15]

Re: Cómo demostrar por inducción que n^2 &lt; 2^n

Vale, tenéis razón. Además no había visto que el enunciado dice "¿Para qué números naturales n es cierta esta desigualdad?".

Entonces, suponiendo que como n principal cogiera n=5, ¿Cómo demuestro por inducción que a partir de los n≥5 esto es cierto? Los pasos a seguir para la inducción (n=m y n=m+1) son correctos. Ahora falta el desarrollo a través del que tengo que llegar a la solución final diciendo que es cierto.

Y sí, es cierto, la solución del ejercicio pone que es para n≥5, pero no puedo decir que lo deduzco porque he ido problando diferentes n...

Gracias a todos!

[alexpglez]

Re: Cómo demostrar por inducción que n^2 &amp;lt; 2^n

$n>=5$, entonces pruebas con n=5 y suponiendo un n demuestras el n+1.
La demostración es como te dije, una vez que has demostrado lo que escribes en tu primer mensaje, si demuestras lo que escribí en mi segundo mensaje (para m mayor o igual que 5), entonces ya tienes demostrada la desigualdad.
Ahora preguntabas el que no has demostrado, si no probando diferentes n. Esto último también es una demostración, si demuestras que para n>=5 se cumple y pruebas que para n=4 no se cumple, esto ya es una demostración lógicamente perfecta (puesto que no hay ningún elemento de los naturales entre 4 y 5).

- - - Actualizado - - -

Demuestro:
Para n=5:

$$2^5>5^2$$

Supongamos que para un n se cumple $2^n>n^2$:

$$2^{n+1}=2*2^n>2n^2$$

Notemos que si demostramos $2n^2>=(n+1)^2$, demostramos automáticamente que $2^{n+1}>(n+1)^2$ (por las propiedades de las relaciones de orden, que quizá las deis como obvias o sabidas).
Pasando dividiendo el n^2 (que nunca se hace 0 para n mayor o igual que 5):

$$2>=\frac{(n+1)^2}{n^2}=(1+\frac{1}{n})^2$$

Pero es que:

$$n>=5 \;\;\; \frac{1}{n}<=\frac{1}{5} \;\;\; (1+\frac{1}{n})^2<=(1+\frac{1}{5})^2 <2$$

Con lo que demostramos la relación anterior (1) para n>=5 y así lo que pide el problema.

Lo que además te pide el problema es que encuentres el m con el que se cumpla $\forall n>=m \; 2^n>n^2$ y no se cumpla $2^{m-1}>(m-1)^2$. Si escogemos m=5, lo anterior se cumple por lo que ya hemos demostrado y no se cumple $2^4>4^2 \;\;\; 32>32$.