1r ciclo Demostraciones por inducción

[The Higgs Particle]

Hola, me piden demostrar por inducción dos igualdades, y en las dos me trabo en la parte de demostrarlo para $k+1$:

a) Demostrar:

$\forall n \geqslant 10, 2^n \geqslant n^3$

Para $k+1$:

$2^{k+1} = 2 \times 2^k = 2 \times (k^3)$

Todo lo que he intentado a partir de aquí no me ha llevado a nada

b) Demostrar:

$x^{2n}-y^{2n}$ es divisible por $x+y$

Para $k+1$:

$x^{2k+2}-y^{2k+2} = x^2x^k-y^2y^k$

[angel relativamente]

Re: Demostraciones por inducción

Hola. Para el primero yo haría lo siguiente: $(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k +1 \leq 2^k + 3k^2 + 3k +1 \leq 2^{k+1} \Leftrightarrow 3k^2 +3k + 1 \leq 2^k$. Observa que la condición que querías demostrar $(k+1)^3 \leq 2^{k+1}$ se ha transformado en una equivalente, donde ahora el polinomio en k tiene un grado menos. Vuelve a aplicar inducción hasta demostrarlo.

Para el segundo, tienes un pequeño error pues $x^{2k+2}=x^2 x^{2k}$. Recuerda la fórmula de diferencia de cuadrados a ver si sacas algo.
Saludos,

[The Higgs Particle]

Re: Demostraciones por inducción

- El primero creo que no lo saco, porque llego a algo que a mí me parece obvio, pero no demostrado.

Si $3k^2+3k+1\leqslant 2^k$ y tomando $P_n$ cierta, $k^3 \leqslant 2^k$. Por lo tanto, si $k^3 \geqslant 3k^2 +3k + 1 \to 2^k \geqslant 3k^2 + 3k+1$

Para $k=10$ se cumple que $10^3 \geqslant 300 + 30 +1$

Para $k+1$: $k^3+3k^2+3k+1 \geqslant 3k^2+9k+7 \to k^3 \geqslant 6k +5$, que a mí me parece evidente que se cumple $\forall k \geqslant 10$, pero imagino que esto no es suficiente como para darlo por demostrado




- El segundo lo he sacado, pero no por diferencia de cuadrados, porque tampoco me salía nada: me he quedado en $(xx^n-yy^n)(xx^n+yy^n)$

Lo he sacado así:

$x^2 \left( \left[ x^{2k} -y^{2k} \right] +y^{2k} \right) -y^2 y^{2k} = x^2 (x+y) f(x,y) + y^{2k} \left( x^2 -y^2\right)$

Donde he sustituido $\left[ x^{2k} -y^{2k} \right]$ tomando $P_n$ verdadera (esto es, múltiplo de una función de $x$ e $y$ por $(x+y)$)

Así:

$x^2 (x+y) f(x,y) + y^{2k} \left( x+y\right)(x-y)$

De forma que, al ser todos los miembros múltiplos de $(x+y)$, tenemos que $P_{k+1}$ es verdadera.