Otras carreras Ayuda con demostracion por induccion

[Sir Isaac]

Necesito ayuda con una demostracion por el metdo de induccion, el enunciado dice asi:

Demostrar por induccion que para todo n > o = 1 que se cumple la propiedad siguiente

Sumatorio de i=1 a n de i²·2ⁱ = (n²+3-2n)·2ⁿ⁺¹-6

Se que el paso base es demostrar que si n=1, al sustituir en el primer miembro las i por el 1 el resultado es similar al de sustituir en el segundo miembre las n por 1. Pero el problema me llega a la hora de aplicar el paso inductivo, se que si S(k) es cierto, entonces S(k+1) tambien lo es. Asi como que S(k+1)=S(k)+(K+1)

Muchas gracias de antemano

[Take It Easy]

Re: Ayuda con demostracion por induccion

Es correcta. Me equivoqué yo.

[Sir Isaac]

Re: Ayuda con demostracion por induccion

La propiedad es la siguiente: [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

- - - Actualizado - - -

La propiedad es la siguiente

[Take It Easy]

Re: Ayuda con demostracion por induccion

Sí, es correcto. Me equivoqué yo.

- - - Actualizado - - -

Para n=1 es obvio.

Ahora debemos suponer que es cierto que
$\sum_{i=1}^{k}i^22^{i}=2+16+72+...+k^22^k=(k^2+3-2n)2^{k+1}-6$.

Evaluamos para $k+1$

$\sum_{i=1}^{k+1}i^22^{i}=2+16+72+...+k^22^k+(k+1)^22^{k+1}$$=$$(k^2+3-2k)2^{k+1}-6+(k+1)^22^{k+1}$

que es lo mismo que $(k^2+3-2k)2^{k+1}-6+(k^2+2k+1)2^{k+1}$, es decir

$(2k^2+4)2^{k+1}-6=(k^2+2)2^{k+2}-6=(k^2+2k+1+3-2k-2)2^{k+2}-6$

que es lo mismo que

$\left[(k+1)^2+3-2(k+1)\right]2^{(k+1)+1}-6$