1r ciclo Rotacional de un gradiente

[jugarmen]

Estudiando mecánica de fluidos al aplicar el rotacional a una ecuación hay dos términos desaparecen. Estos dos términos son precisamente los dos gradientes que hay. ¿El rotacional de un gradiente es siempre nulo? ¿Por qué?

Muchas gracias

[Alriga]

Re: Rotacional de un gradiente

Si a un campo escalar $V=V(x, \ y, \ z)$ le aplicas la definición de gradiente y a continuación la de rotacional obtienes:

$\nabla V=\dfrac{\partial V}{\partial x} \vec i + \dfrac{\partial V}{\partial y} \vec j + \dfrac{\partial V}{\partial z} \vec k$


$\nabla \times (\nabla V)=\left ( \dfrac{\partial^2 V}{\partial y \partial z}-\dfrac{\partial^2 V}{\partial z \partial y} \right ) \vec i + \left ( \dfrac{\partial^2 V}{\partial z \partial x}-\dfrac{\partial^2 V}{\partial x \partial z} \right ) \vec j + \left ( \dfrac{\partial^2 V}{\partial x \partial y}-\dfrac{\partial^2 V}{\partial y \partial x} \right ) \vec k$

El Teorema de Clairaut-Schwarz garantiza que las segundas derivadas cruzadas son iguales, por lo tanto se cumple siempre que

$\nabla \times (\nabla V)=0 \ \vec i + 0 \ \vec j + 0 \ \vec k=0$

el rotacional del gradiente es cero.

Saludos.