1r ciclo Sucesión recurrente

[The Higgs Particle]

Me piden demostrar que existe límite y calcularlo para:

$\boxed{2 + \dst \frac{1}{2+ \frac{1}{2+... } }}$

De esa fórmula, puede verse que:

$a_n = 2 +\dst \frac{1}{a_{n-1}}$

Primero, estudio la monotonía.

$a_{n+1} = 2 + \dst \frac{1}{a_n} > a_n$

- Para $a_n < 1 -\sqrt{2}$, {$a_n$} es decreciente
- Para $1-\sqrt{2} <a_n < 1 +\sqrt{2}$, {$a_n$} es creciente
- Para $a_n > 1 + \sqrt{2}$, {$a_n$} es decreciente

Sin embargo, como puede observarse en la fómula recuadrada, $a_n>0$. Además, como las propiedades de las sucesiones varían en función del primer término, voy a estudiar qué ocurre con la sucesión en función de $a_1=a$:

a) Si $a_1 < 1 + \sqrt{2} \to a_n > 1+ \sqrt{2}$ $\forall n$. Se demuestra fácilmente por inducción
b) Si $a_1 > 1 + \sqrt{2} \to a_n < 1+\sqrt{2}$ $\forall n$. Esto se ve porque previamente he demostrado que para esos valores de $a_1$ , la sucesión es decreciente (es decir, obligatoriamente $a_n < a_1 < 1+ \sqrt{2}$)


Por lo tanto:

1) Para $1-\sqrt{2} <a_n < 1 +\sqrt{2}$, {$a_n$} es creciente $\wedge a_n > 1+ \sqrt{2}$
2) Para $a_n > 1 + \sqrt{2}$, {$a_n$} es decreciente $\wedge a_n < 1 + \sqrt{2}$

Los límites serían:

1) La sucesión crece indefinidamente, de forma que $\nexists$ límite (no sé si esto exige una demostración más rigurosa)
2) $\lim_{n \to \infty}$ {$a_n$} $= \lim_{n \to \infty}$ {$a_{n-1}$}:

$l = 2 + \dst \frac{1}{l}$, por lo que: $l = 1 + \sqrt{2}$ ó $l = 1- \sqrt{2}$

Creo que lo que ocurre es esto:

Rojo: 1)
Azul: 2)

Por ello, podemos concluir que:

$l = 1+ \sqrt{2}$

¿Está bien?

- - - Actualizado - - -

Edito: en el eje de ordenadas de la imagen quería poner $1 + \sqrt{2}$ y no $1+\sqrt{5}$

[Al2000]

Re: Sucesión recurrente

Bueno, yo no lo sé hacer con todo ese rigor matemático sino mas bien por simple inspección, pero lo que si te puedo decir es que el límite es $1 + \sqrt 2$, pues no hay forma que esa expresión dé negativa.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Sucesión recurrente

Creo que puedes acomodar el limite como quieras

según el video la sucesión debería tender a $1+\sqrt2$ la forma de precisar la exactitud es saber cual es el ultimo numero de la sucesión, pero como siempre no lo sabemos...

[The Higgs Particle]

Re: Sucesión recurrente

Me he dado cuenta de que estaba interpretando mal lo que me salía.

Lo que me dice esto es que en el momento en el que un término de la sucesión, $a_n$ esté por debajo de $1+ \sqrt{2}$, se vuelve creciente. Sin embargo, si en el siguiente término, $a_{n+1}$, está por encima de $1+ \sqrt{2}$, la sucesión se vuelve decreciente. Es decir, va oscilando continuamente alrededor de un mismo número, un atractor, que en teoría debería alcanzar en el infinito. En este caso, el límite es precisamente dicho atractor: $1+\sqrt{2}$

Lo que me decía era el estudio de $a_1$ es cuál de las dos subsucesiones: la par ($a_{2n}$) o la impar ($a_{2n+1}$) es la que decrece y cuál la que crece. Sin embargo, puedo elegir $a_1$ arbitrariamente, porque el límite va a ser el mismo.