Secundaria Demostración matemática

[CARLIN]

No quiero iniciar otro hilo con la misma duda, he intentado este ejercicio resuelto que no entiendo:

Demostrar ${(1+a)}^{n} \geqslant 1+an$

$Para n=1 \Rightarrow (1+a)\geqslant 1+a$

H.I suponemos cierta para n

${(1+a)}^{(n+1)} = {(1+a)}^{n} luego (1+a)\geqslant (1+an) . (1+a)$


Mis dudas, ¿por qué${(1+a)}^{(n+1)} = {(1+a)}^{n}$? ¿ De dónde viene el (1+a) que multiplica (1+an). ?

Gracias

[Alriga]

Re: Demostración matemática

En generalse cumple que:

$X^k \cdot X^m=X^{(k+m)}$

Por lo tanto $(1+a)^{n+1}=(1+a)^n \cdot (1+a)^1=(1+a)^n \cdot (1+a)$

Saludos

[skynet]

Re: Demostración matemática

${(1+a)}^{(n+1)} = {(1+a)}^{n} luego (1+a)\geqslant (1+an) . (1+a)$

es así

${(1+a)}^{(n+1)} = {(1+a)}^{n} (1+a)\geqslant (1+an) . (1+a)$

la desigualdad se justifica por hipotesis de induccion

[Richard R Richard]

Re: Demostración matemática

${(1+a)}^{n} \geqslant 1+an$ solo si $a\geqslant 0$

pero para la demostracion haces

1-) $n=1$ entonces {[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] esta dentro de lo esperado

2) luego baseandote en el resultado de la misma expresion expresada en funcion de n debes demostrar que con el exponente n+1 la expresion continua siendo mayor a esta ultima expresion

para ello escribes la expresion en funcion de n+1


${(1+a)}^{(n+1)} =$

sabes que
$<br /> {(1+a)}^{(n+1)} = {(1+a)}^{n}(1+a)={(1+a)}^{n}+a{(1+a)}^{n}$

entonces si usas la hipotesis que

${(1+a)}^{n} \geqslant 1+an$


entonces

${(1+a)}^{(n+1)}\geqslant 1+an+a{(1+a)}^{n}=1+a(n+1{(1+a)}^{n})$




ya sabes que si a $a\geqslant$0 entonces ${(1+a)}^{n}\geqslant 1$

${(1+a)}^{(n+1)}\geqslant 1+an+a{(1+a)}^{n}=1+a(n+1\underbrace{{(1+a)}^{n}}_{\geqslant 1})\geqslant 1+a(n+1)$

cqd

[CARLIN]

Re: Demostración matemática

(1+a) ¿es lo mismo que (n+1)? Gracias

[Richard R Richard]

Re: Demostración matemática

no $(1+a)^1=1+a$

$(1+a)^2=(1+a)(1+a)$

$(1+a)^3=(1+a)(1+a)(1+a)$

entonces

$(1+a)^n$ es $n$ veces $(1+a)$multiplicado por si mismo

entonces

$(1+a)^{n+1}$ es $n+1$ veces $(1+a)$multiplicado por si mismo

solo multiplicar una vez mas a $(1+a)^n$ por $(1+a)$

es decir

$(1+a)^{n+1}=(1+a)^n(1+a)$

no te olvides que debes obtener la misma formula en ambos lados de la inecuación pero ahora expresada en función de $(n+1)$ dando como valido que se cumple para $n$