Práctica sobre cálculo del tensor de Riemann

[inakigarber]

Buenas noches;

Llevo algún tiempo interesado en el tensor de curvatura de Riemann, y a pesar de la enorme pereza que me da el meterme en esos cálculos he decidido intentar hacer algún cálculo, para ello he decidido comenzar por un caso sencillo, pero no sé si lo estoy haciendo bien. He empezado por un tensor métrico de Schwarschild en el que las coordenadas angulares fueran constantes. Tal como este;
$G=\left[\begin{matrix}\left(1-\dfrac{r_s}{r}\right) & 0\\0 & -\left(1-\dfrac{r_s}{r}\right)^{-1}\end{matrix}\right]$
Cuyo tensor inverso sería este:
$G^{-1}=\left[\begin{matrix}\left(1-\dfrac{r_s}{r}\right)^{-1} & 0\\0 & -\left(1-\dfrac{r_s}{r}\right)\end{matrix}\right]$
Las coordenadas que utilizo són $x^1=t$ y $x^2=r$
Las derivadas no nulas que me salen son;
$\dfrac{\partial g_{11}}{\partial x^2}=\dfrac{r_s}{r^2}$ y $\dfrac{\partial g_{22}}{\partial x^2}=\dfrac{r_s}{(r-r_s)^2}$.
Los símbolos de Christoffel de segundo orden que me salen son;
$\Gamma^1_{12}=\Gamma^1_{21}=\dfrac{r_s}{r(r-r_s)}$, $\Gamma^2_{11}=\dfrac{(r-r_s)r_s}{2r^3}$ y $\Gamma^2_{22}=-\dfrac{r_s}{2r(r-r_s)}$
Ahora viene lo que me resulta más cómplicado;
El tensor de Riemann de segundo orden viene dado por la expresión;
$R^a_{bcd}= \dfrac{\partial\Gamma^a_{bd}}{\partial x^c}-\dfrac{\partial\Gamma^a_{bc}}{\partial x^d}+\Gamma^a_{\mu c}\Gamma^\mu_{bd}-\Gamma^a_{\mu d}\Gamma^\mu_{bc}$
Si sustituyo el primer símbolo de Christoffel del tensor de Riemann por el primer símbolo que he calculado $\Gamma^1_{12}$, entonces sustituyo los valores de de a,b y d por 1,1 y 2 respectivamente y considerando únicamente los términos no nulos, me sale el siguiente valor.
$R^1_{122}=-\left(\dfrac{r_s}{(r-r_s)r_s^2}+\dfrac{r_s}{r(r-r_s)^2}\right)$
Haciendo lo própio con el siguiente símbolo, $\Gamma^1_{21}$, me sale;
$R^1_{221}=-\left(\dfrac{r_s}{(r-r_s)r^2}+\dfrac{r_s}{r(r-r_s)^2}\right)$.
El resto de valores aún no los he calculado, no obstante, es la primera vez que hago un cálculo de estos, y no se si estoy haciendo lo correcto.

¿Es esto correcto?