1r ciclo Continuidad de una función utilizando la definición

[Forseti]

Buenas tardes a todos, estaba intentando resolver el siguiente ejercicio y me he quedado atascado:

-Demuestra utilizando la definición que la función $f(x) = x^2 -2x$ es continua para cualquier punto a contenido en R.

Por la definición, entiendo que tengo que buscar un

$\left\vert{f(x)-f(a)} \right\vert{} < \varepsilon$, es decir, $\left\vert{x^2-2x- a^2 +2a} \right\vert{} < \varepsilon$

$\left\vert{x-a} \right\vert{} < \delta$

Muchas gracias de antemano.

[Samir M.]

Re: Continuidad de una función utilizando la definición

Observa que $x^2-2x-a^2+2a = (x-a)(a+x-2)$. Ahora bien, si $|x-a|<\delta = 1$ entonces $x < a +1$ luego $a+x-2 < 2a-1$ y por tanto $|x^2-2x-a^2+2a| = |x-a||a+x-2| < |x-a||2a-1|$. Si $|x-a||2a-1| < \epsilon$ entonces $|x-a|<\dfrac{\epsilon}{|2a-1|}$. Eligiendo $\delta = \min{\{1,\dfrac{\epsilon}{2a-1}\}}$ se concluye.

Saludos.