1r ciclo Teorema de Lagrange

[unoonox]

Buenas a todos, se me propone el siguiente ejercicio, el cual no sé por dónde cogerlo:

Sea M>0 y g una función derivable tal que |g'(x)|menor o igual que M para todo x perteneciente a R. Demuestre que la función f(x)= x +(g(x)/2M) es inyectiva.

Se me indica como pista que use el Teorema de Lagrange y el método de reducción al absurdo.

Sé qué es una función inyectiva, supongo que la M se refiere a un máximo pero poco más. No sé cómo hacerlo.

[angel relativamente]

Re: Teorema de Lagrange

Hola,
Se me ocurre lo siguiente:

Supongamos que $f(x)$ NO es inyectiva. En tal caso $\exists a,b$, $a\neq b$ (supondremos $a< b$) tal que $f(a)=f(b)$. Por un lado tenemos que la función $f(x)$ es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$, en particular en el intervalo $[a,b]$ y $f'(x)=1+\dfrac{g'(x)}{2M}$. Por otro lado, sabemos por el teorema de Lagrange que $\exists c\in[a,b]$ tal que $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. En tal caso se tiene que $f'(c)=0=1+\dfrac{g'(c)}{2M}\; \Rightarrow \; g'(c)=-2M \; \Rightarrow \; \left\vert{} g'(c) \right\vert{} = 2M$ lo cual es un absurdo pues por hipótesis $\left\vert{} g'(x) \right\vert{} \leq M, \; \forall x\in \mathbb{R}$.

Saludos,

[unoonox]

Re: Teorema de Lagrange

Hola,
Se me ocurre lo siguiente:

Supongamos que $f(x)$ NO es inyectiva. En tal caso $\exists a,b$, $a\neq b$ (supondremos $a< b$) tal que $f(a)=f(b)$. Por un lado tenemos que la función $f(x)$ es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$, en particular en el intervalo $[a,b]$ y $f'(x)=1+\dfrac{g'(x)}{2M}$. Por otro lado, sabemos por el teorema de Lagrange que $\exists c\in[a,b]$ tal que $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$. En tal caso se tiene que $f'(c)=0=1+\dfrac{g'(c)}{2M}\; \Rightarrow \; g'(c)=-2M \; \Rightarrow \; \left\vert{} g'(c) \right\vert{} = 2M$ lo cual es un absurdo pues por hipótesis $\left\vert{} g'(c) \right\vert{} \leq M, \; \forall x\in \mathbb{R}$.
Saludos,

No veo por qué f'(x) vale 1+(g'(x)/2M). Si derivas f, en teoría el uno, por ser constante, debería desaparecer no?

[Richard R Richard]

Re: Teorema de Lagrange

No veo por qué f'(x) vale 1+(g'(x)/2M). Si derivas f, en teoría el uno, por ser constante, debería desaparecer no?

Has dicho o el enunciado dice que

f(x)= x +(g(x)/2M)

Si

$f(x)=x+\dfrac{g(x)}{2M}$

Entonces

$f'(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}=1+\dfrac{g'(x)}{2M}$

Si es así, es como te lo ha explicado Angel

[unoonox]

Re: Teorema de Lagrange

Ay Dios jajaa deja deja, es verdad, en mi mente esa x era un 1. Vale, en tal caso lo entiendo perfectamente. Muchas gracias a todos y perdonad mi descuido jeje.