1r ciclo Indeterminación ∞^0

[The Higgs Particle]

Hola, me piden hallar el límite:

$\dst \lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x-1} \right)^{[x]}$

donde $[x] \equiv$ parte entera de $x$

Cuando hago el límite lateral por la derecha no hay problema, pero cuando lo hago por la izquierda me encuentro con una indeterminación que en este caso no sé resolver:

$\dst \lim_{x \to 1^-} \left( \frac{1}{x-1} \right)^{[x]} = \left( \frac{1}{-0} \right)^0 = (- \infty)^0$

[angel relativamente]

Re: Indeterminación ∞^0

Hola THP. La cuestión es que cuando pones que el límite del exponente es 0, no es porque el exponente tienda a 0 sino porque es exactamente 0 para cualquier $x\in[0,1)$. Si le vas dando valores a $x$ en dicho intervalo (por ejemplo 0.9, 0.91 , 0.92 ...), observa que lo que vas obteniendo es 1,1,1,1,1 ... por lo que se deduce que el límite por la izquierda es 1

[Alriga]

Re: Indeterminación ∞^0

Hola THP.

Por la derecha, para valores cercanos a 1 el exponente es siempre 1, mientras que la base 1/(x-1) se hace arbitrariamente grande cuando los x>1 se aproximan a 1. Por lo tanto por la derecha el límite es el de 1/(x-1) y por lo tanto infinito.

Por la izquierda límite es 1 porque el exponente, (la parte entera de x cuando x se acerca a 1), es el número 0, (observa que no es “algo que tiende a 0”, sino el número cero estricto) y cualquier número real elevado a cero es 1.

Puedes verlo así: cualquier sucesión Sn de números reales, si elevamos cada término de la sucesión a cero la sucesión es 1, 1, 1, … 1 y por lo tanto 1 aunque los términos individuales de Sn vayan aumentando arbitrariamente con n

No sé si me explicado muy bien, espero que me entiendas, saludos.

PD. Ups, veo que mientras preparaba la respuesta ha contestado Ángel prácticamente lo mismo, saludos Ángel.

[pilimafiqui]

Re: Indeterminación ∞^0

No es una indeterminación del nº e?

[Alriga]

Re: Indeterminación ∞^0

No es una indeterminación del nº e?

Los límites en los que suele estar implicado el número "e" son del tipo

$(S_n)^{(P_n)}$

en los que $S_n$ tiende a 1 y $P_n$ tiende a infinito.

Observa que en este caso para $x \rightarrow 1$ , ni la base $\dfrac{1}{x-1}$ tiende a 1 ni el exponente $[x]$ tiende a infinito.

Saludos.

[The Higgs Particle]

Re: Indeterminación ∞^0

¿Se puede, entonces, concluir que siempre $\lim_{x \to x_0} (f(x))^0 = 1$, independientemente del $x_0$ y de la $f(x)$?

[angel relativamente]

Re: Indeterminación ∞^0

Sí, siempre que la función esté definida en un entorno de $x_0$. Un límite más común es cuando hay un cociente que el numerador siempre es cero. Por ejemplo $\dst \lim_{x \to 1/2 } \dfrac{[x]}{x-1/2 }=0$ pues el numerador es exactamente cero y el denominador es un número que tiende a (pero es distinto de) 0, y no hay ninguna indeterminación.

Saludos,

[pilimafiqui]

Re: Indeterminación ∞^0

Hay indeterminaciones de la forma infinito elevado a cero y 0^0 que para resolverlas se aplica la regla de L`Hopital y las transformamos en la forma 0 . infinito teniendo en cuenta que :
lim cuando x tiende a a de f(x)^g(x) = lim cuando x tiende a a de e ^g(x). ln f(x).
Ejemplo: lim cuando x tiende a infinito de x^1/x = infinito ^0 = e^lim cuando x tiende a infinito de . lnx/x.
Calculo el lim del exponente aplicando la regla de L`Hopital y me da 0.
Por lo que queda e^0 =1

[Alriga]

Re: Indeterminación ∞^0

... f(x)^g(x) = lim cuando x tiende a a de e ^g(x). ln f(x) ...

En efecto, pero observa que $f(x)^{g(x)}=e^{g(x) \cdot \ln f(x)}$ es un propiedad general de la función exponencial y de su función inversa, el logaritmo.

Esta propiedad es por lo tanto independiente de límites y de puntos en los que se evalúen los límites de una función. Cierto es que se utiliza para poder aplicar la Regla de l'Hopital a ciertos límites indeterminados, pero se aplica en la misma medida que se puede aplicar cualquier otra regla algebraica, como que el límite de una suma es la suma de límites o que el límite de un producto es producto de límites,... no sé si me explico.

Saludos.

[danielandresbru]

Re: Indeterminación ∞^0

The Higgs Particle

¿Se puede, entonces, concluir que siempre $\lim_{x \to x_0} (f(x))^0 = 1$, independientemente del $x_0$ y de la $f(x)$?

Sí, siempre que la función esté definida en un entorno de $x_0$.

Me parece que ademas del caso que dice angel relativamente ese limite tampoco estaría definido en el caso particular en que $f(x)=0$.

Saludos