1r ciclo Duda integrales trigonométricas

[CARLIN]

Hola, ¿Cómo se haría esta integral sustituyendo las fórmulas que adjunto abajo?:

Sen x = 2t/ 1+t^2 Cos x = 1-t^2/1+t^2 dx= 2dx/1+t^2 Tg (x/2)= t

La he intentado, llego al final y me queda Una integral que se puede resolver por fracciones simples (me quedaron tres:A,B y C) pero no hallo el valor de A y no logro hallar B y C porque me faltan ecuaciones.

$\int \frac{cos x}{1+cos x } dx$

Gracias!

[Alriga]

Re: Duda integrales trigonométricas

$\sin x = \dfrac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2}$

$dx = \dfrac{2 \ dt}{1+t^2}$

$\tan \dfrac x 2= t$

Haciendo ese cambio típico trigonométrico que tú propones y operando sale:

$\dst \int \dfrac{cos x}{1+cos x } \ dx=\int \dfrac{1-t^2}{1+t^2} \ dt =\int \dfrac{2- \left ( 1+t^2 \right )}{1+t^2} \ dt =$

(Si este último paso de sumar 1 y restar 1 no se te ocurre, haz la división del polinomio numerador $1-t^2$ entre el polinomio denominador $1+t^2$ , que dará como cociente -1 y como resto 2)

$\dst = 2 \int \dfrac{1}{1+t^2} \ dt - \int 1 \cdot dt =$

$\dst \int \dfrac{cos x}{1+cos x } \ dx= 2 \arctan t - t + C$

Ahora solo te queda deshacer el cambio de variable y ya está:

$\dst \int \dfrac{cos x}{1+cos x } \ dx= x - \tan \dfrac x 2 + C$

Saludos.