Secundaria Sistema de tres ecuaciones de segundo grado

[Jaime Rudas]

Se trata de resolver este sistema:

$cx^2-b^2z=c$
$z-cy^2=1$
$cxy+bz=0$

La verdad, estoy algo oxidado en esto. He tratado despejando $z$ en las ecuaciones, combinando la 1a y la 3a, resolviendo $y$, pero nada me resulta. ¿Me podrían dar alguna pista?
Nota: $b$ y $c$ son constantes.

[Richard R Richard]

Re: Sistema de tres ecuaciones de segundo grado

$$cx^2-b^2z=c$$

entonces

$$z=\dfrac{c(x^2-1)}{b^2}$$

luego

$$z-cy^2=1$$

reemplazo 2 en 3

$$\dfrac{c(x^2-1)}{b^2}-cy^2=1$$

luego

$$cxy+bz=0$$

reemplazo 2 en 5

$$cxy=-b\dfrac{c(x^2-1)}{b^2}$$

y opero

$$y=\dfrac{-\cancel{b}\cancel{c}(x^2-1)}{b^{\cancel{2}}\cancel{c}x}=-\dfrac{(x^2-1)}{bx}$$

reemplazo 7 en 4

$$\dfrac{c(x^2-1)}{b^2}-c\left [-\dfrac{(x^2-1)}{bx}\right ]^2=1$$

operando

$$\dfrac{cx^2(x^2-1)-c(x^2-1)^2}{b^2x^2}=1$$

$$cx^2(x^2-1)-c(x^2-1)^2=b^2x^2$$

sabiendo que

$$(x^2-1)(x^2-1)=x^4-2x^2+1$$

reemplazo 11 en 10

$$\cancel{cx^4}-cx^2-\cancel{cx^4}+2cx^2-c=bx^2$$

entonces

$$x^2c-c=bx^2$$

de aqui

$$x=\sqrt{\dfrac{c}{c-b}}$$

entonces reemplazando 14 en 7

$$y=-\dfrac{b}{(c-b)\sqrt{\dfrac{c}{c-b}}}<br />$$

y reemplazando en 2

$$z=\dfrac c{b(c-b)}$$

si no me he equivocado como el 99,99% de las veces

[Al2000]

Re: Sistema de tres ecuaciones de segundo grado

Tienes un error menor... es el 99.97% de las veces

[Richard R Richard]

Re: Sistema de tres ecuaciones de segundo grado

que grande !!!! tengo un 0,02 % de crédito por encima de mis espectativas me estoy subestimando.....

$$cx^2-b^2z=c$$

entonces

$$z=\dfrac{c(x^2-1)}{b^2}$$

luego

$$z-cy^2=1$$

reemplazo 2 en 3

$$\dfrac{c(x^2-1)}{b^2}-cy^2=1$$

luego

$$cxy+bz=0$$

reemplazo 2 en 5

$$cxy=-b\dfrac{c(x^2-1)}{b^2}$$

y opero

$$y=\dfrac{-\cancel{b}\cancel{c}(x^2-1)}{b^{\cancel{2}}\cancel{c}x}=-\dfrac{(x^2-1)}{bx}$$

reemplazo 7 en 4

$$\dfrac{c(x^2-1)}{b^2}-c\left [-\dfrac{(x^2-1)}{bx}\right ]^2=1$$

operando

$$\dfrac{cx^2(x^2-1)-c(x^2-1)^2}{b^2x^2}=1$$

$$cx^2(x^2-1)-c(x^2-1)^2=b^2x^2$$

sabiendo que

$$(x^2-1)(x^2-1)=x^4-2x^2+1$$

reemplazo 11 en 10

$$\cancel{cx^4}-cx^2-\cancel{cx^4}+2cx^2-c=b^2x^2$$

entonces

$$x^2c-c=b^2x^2$$

de aqui

$$x=\sqrt{\dfrac{c}{c-b^2}}$$

entonces reemplazando 14 en 7

$$y=-\dfrac{b^{\cancel{2}}}{\cancel {b}(c-b^2)\sqrt{\dfrac{c}{c-b^2}}}=\dfrac{-b}{\sqrt{c(c-b^2)}}$$

y reemplazando en 2

$$z=\dfrac {\cancel{b^2}c}{\cancel{b^2}(c-b^2)}=\dfrac c{c-b^2}$$

intento 2 sobre......n


comprobando en 1

$$cx^2-b^2z=c(\sqrt{\dfrac{c}{c-b^2}})^2-b^2\dfrac c{c-b^2}=\dfrac {c^2}{c-b^2}-b^2\dfrac c{c-b^2}=c\dfrac{\cancel{c-b^2}}{\cancel{c-b^2}}=c$$

$$z-cy^2=\dfrac c{c-b^2}-c\left [ \dfrac{-b}{\sqrt{c(c-b^2)}}\right ]^2=\dfrac c{c-b^2}-\dfrac {b^2}{c-b^2}=\dfrac{\cancel{c-b^2}}{\cancel{c-b^2}}=1$$

$$cxy+bz=c\sqrt{\dfrac{c}{c-b^2}}\dfrac{-b}{\sqrt{c(c-b^2)}}+b\dfrac c{c-b^2}=\dfrac{-bc}{c-b^2}+\dfrac{bc}{c-b^2}=0$$

CQD lol

[Jaime Rudas]

Re: Sistema de tres ecuaciones de segundo grado

reemplazo 11 en 10

$$\cancel{cx^4}-cx^2-\cancel{cx^4}+2cx^2-c=b^2x^2$$

entonces

$$x^2c-c=b^2x^2$$

¡Estupendo!
¡¡Muchas gracias!!

[saturno]

Re: Sistema de tres ecuaciones de segundo grado

acordaos de $\pm$

[Richard R Richard]

Re: Sistema de tres ecuaciones de segundo grado

$$x=\pm\sqrt{\dfrac{c}{c-b^2}}$$

entonces reemplazando 14 en 7

$$y=\mp\dfrac{b^{\cancel{2}}}{\cancel {b}(c-b^2)\sqrt{\dfrac{c}{c-b^2}}}=\mp\dfrac{b}{\sqrt{c(c-b^2)}}$$

y reemplazando en 2

$$z=\dfrac {\cancel{b^2}c}{\cancel{b^2}(c-b^2)}=\dfrac c{c-b^2}$$

intento 2 sobre......n


comprobando en 1

$$cx^2-b^2z=c\left [\pm\sqrt{\dfrac{c}{c-b^2}}\right ]^2-b^2\dfrac c{c-b^2}=\dfrac {c^2}{c-b^2}-b^2\dfrac c{c-b^2}=c\dfrac{\cancel{c-b^2}}{\cancel{c-b^2}}=c$$

$$z-cy^2=\dfrac c{c-b^2}-c\left [ \mp\dfrac{b}{\sqrt{c(c-b^2)}}\right ]^2=\dfrac c{c-b^2}-\dfrac {b^2}{c-b^2}=\dfrac{\cancel{c-b^2}}{\cancel{c-b^2}}=1$$

$$cxy+bz=c\left [\pm\sqrt{\dfrac{c}{c-b^2}}\right ]\left [\mp\dfrac{b}{\sqrt{c(c-b^2)}}\right ]+b\dfrac c{c-b^2}=\dfrac{-bc}{c-b^2}+\dfrac{bc}{c-b^2}=0$$

CQD more lol