2o ciclo Ayuda con Hélices que se "enredan" en superficies

[Dilior]

Buenas tardes pues tengo un problema sobre hallar el trabajo de una fuerza... (integral de linea) sobre una helice enrollada en un paraboloide de ecuación... ${x}^{2}+{y}^{2}+z=2\pi$ el rotacional de dicha fuerza no es cero por lo que me veo obligado a realizar la integral de linea... $\vec{F}=({z}^{2 };3{y}^{2 };2x)$ agradeciría algun alcance con respecto a la parametrización...

[Al2000]

Re: Ayuda con Hélices que se "enredan" en superficies

Pero camarada, y no quiero decir que yo lo sepa hacer, te estás dejando mucha información necesaria para plantear el problema. En particular la información que se refiere a la hélice: donde empieza/termina, cuál es su paso, es levógira o dextrógira, cual es la ecuación de ser posible?

[Dilior]

Re: Ayuda con Hélices que se "enredan" en superficies

Bueno mi interés supongo es más general, sobre como se parametriza la ecuación de una hélice que se enreda en una superficie... pero bueno respecto al problema la hélice empieza en el punto $(\sqrt{2\pi},0,0)$ y termina en $(0,0,2\pi)$ osea empieza en z=0 en el eje x y termina en cúspide del paraboloide... lo del "paso" lo desconozco pero la helice da 1 revolución alrededor

[Al2000]

Re: Ayuda con Hélices que se "enredan" en superficies

OK, con eso es suficiente, si dices que hace una sola revolución, entonces el paso es $2 \pi$.

Ya me corregirá alguien que sepa más matemática que yo, pero mi aproximación ingenua al problema sería parametrizar la helicoide tal como se parametriza una hélice, pero con el radio variable. Si tuviese una hélice de radio $R$ y paso $p$, yo parametrizaría usando el ángulo con el eje X, digamos $\theta$, de la siguiente forma:

$$x = R \cos \theta,\,\,\, y = R \, \mathrm {sen} \, \theta,\,\,\, z = \frac p {2 \pi } \theta$$

las cuales representan una hélice de radio $R$ y paso $p$ que se desarrolla en sentido antihorario cuando miras hacia el plano XY desde +Z.

Mi idea sería ahora decir que $R = \sqrt {2 \pi - z}$ y me parece que eso debería hacer el truco de llevar la hélice de la superficie cilíndrica a la del paraboloide.

Saludos,

$\mathcal A \ell$