1r ciclo Límite por la definición

[The Higgs Particle]

Hola, ¿es esto correcto?

Demostrar, utilizando la definición, este límite

$\dst \lim_{x \to 1} \left( \frac{2x}{3+x} \right) = \frac{1}{2}$

Entonces:

$\dst \left\vert{} f(x)- \dst \frac{1}{2} \right\vert{} = \frac{3 |x-1|}{2|x+3|}$

Se cumple que $\dst \frac{1}{|x+3|} \leqslant 1$ cuando $x<-4, x >-2$, es decir, para $x>0 \to \delta = |x-1| \geqslant 0$
Entonces, la forma que $\delta \geqslant 0$ manteniendo el hecho de que $\frac{1}{|x+3|} \leqslant 1$ es que $x \in (0,2)$.
Entonces, $\delta \leqslant 1$.

De aquí:

$\dst \delta = \frac{2 \epsilon}{3}$

[arivasm]

Re: Límite por la definición

La verdad es que no entiendo muy bien el final de lo que has escrito.

Quizá lo más sencillo sea plantear que si $|x-1|<\delta$, con $\delta >0$, entonces $1-\delta<x<1+\delta$. Por tanto $4-\delta<x+3<4+\delta$.


Aplicando la definición de límite tenemos que demostrar que para cada $\delta>0$ existe un número real $\epsilon>0$ tal que si $|x-1|<\delta$ entonces $|f(x)-\frac{1}{2}|<\epsilon$.

Si $0<\delta<4$ entonces $|x+3|>4-\delta$ y $\dst \left|\frac{x-1}{x+3} \right|<\frac{\delta}{4-\delta}$. Esto significa que $\dst\left|f(x)-\frac{1}{2} \right|<\frac{3\delta}{2(4-\delta)}$.

Para $\delta>4$ tenemos que $|x+3|>|\delta-4|$ y $\dst\left|f(x)-\frac{1}{2} \right|<\frac{3\delta}{2(\delta-4)}$

Por tanto, para $\delta\neq 4$ podemos tomar $\dst\epsilon=\left|\frac{3\delta}{2(\delta-4)} \right|$. Para $\delta=4$ tomamos para $\epsilon$ cualquier número real positivo.