1r ciclo Continuidad y diferenciabilidad

[The Higgs Particle]

Me piden calcular los parámetros para que la función sea continua y diferenciable en todo su dominio, no sé si lo he resuelto bien:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

a) Continuidad [Comparar límites laterales]

a.1) Continuidad en x=0:

$\lim_{x \to 0} \sin(\pi x) + a = a$

$\lim_{x \to 0} a+bx = a$

$\boxed{a=a}$

a.2) Continuidad en x=2

$\lim_{x \to 2} a +bx = 2b + a$

$\lim_{x \to 2}c \cdot e^{x^2} = c \cdot e^4$


$\boxed{2b+a = c \cdot e^4}$

b) Diferenciabilidad

b.1) Diferenciabilidad en x=0

$\dst \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi x + \pi h) + a - (\sin(\pi x) + a)}{h}$

En una función continua en $\mathbb{R}$ se cumple que $f(x+y) = f(x) + f(y)$, por lo que:

$\dst \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi x + \pi h) - \sin(\pi x) }{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\sin(\pi h)}{h}$

Lo único que se me ocurre aquí es decir que como $h \to 0 \to \sin(\pi h) \approx \pi h$, de forma que:

$\dst \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\pi h}{h} = \pi$

$\dst \lim_{h \to 0} \frac{a+b(x+h) - (a +bx)}{h} = b$

$\boxed{b = \pi}$

[Error LaTeX: Fórmula vacía]
b.2) Diferenciabilidad en x=2

$\dst \lim_{h \to 0} \frac{a+b(x+h) - (a+bx)}{h} = b$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Como $x=2$:

$\boxed{c = \dst \frac{\pi}{4 e^4}}$

Y de estas ecuaciones despejo $a$.

[alar]

Re: Continuidad y diferenciabilidad

Me piden calcular los parámetros para que la función sea continua y diferenciable en todo su dominio, no sé si lo he resuelto bien:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

a) Continuidad [Comparar límites laterales]

a.1) Continuidad en x=0:

$\lim_{x \to 0} \sin(\pi x) + a = a$

$\lim_{x \to 0} a+bx = a$

$\boxed{a=a}$

a.2) Continuidad en x=2

$\lim_{x \to 2} a +bx = 2b + a$

$\lim_{x \to 2}c \cdot e^{x^2} = c \cdot e^4$


$\boxed{2b+a = c \cdot e^4}$

b) Diferenciabilidad

b.1) Diferenciabilidad en x=0

$\dst \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\pi x + \pi h) + a - (\sin(\pi x) + a)}{h}$

En una función continua en $\mathbb{R}$ se cumple que $f(x+y) = f(x) + f(y)$, por lo que:

Considero que la parte de continuidad es correcta pero esto que he marcado en no es cierto, de hecho la función seno es ejemplo de ello o por ejemplo f(x)=x^2, si haces f(x+y)=(x+y)^2=x^2+2xy+y^2=/=x^2+y^2=f(x)+f(y), si no totas la funciones continuas serian parecidas a la lineales, como a partir de aquí ya has usado esto supongo que el resultado es incorrecto.
Para buscar la diferenciabilidad no has de usar la definición de derivada en los puntos.
Dicho de forma rápida, como los trozos de las funciones son derivables en sus intervalos abiertos sólo has de derivar en ellos y hacer que las derivada en los puntos de unión tiendan a lo mismo por los dos lados.

[alexpglez]

Re: Continuidad y diferenciabilidad

Para buscar la diferenciabilidad no has de usar la definición de derivada en los puntos.
Dicho de forma rápida, como los trozos de las funciones son derivables en sus intervalos abiertos sólo has de derivar en ellos y hacer que las derivada en los puntos de unión tiendan a lo mismo por los dos lados.

Se cumple si f es continua en un entorno de ese punto. Por ejemplo la función escalón no tiene derivada en 0, $x>0 \;\; f(x)=1$, $x \leq 0 \;\; f(x)=0$:
La derivada por la izquierda da:

$$x<0 \;\; \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{0}{x}=0 \; \longrightarrow \; 0$$

Y por la derecha:

$$x>0 \;\; \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{1}{x} \; \longrightarrow \; +\infty$$

Da la casualidad de que el resultado es correcto... El fallo lo tienes en la argumentación tuya (que no acabo de entender la verdad... pero no se cumple $f(x)+f(y)=f(x+y)$ como te ha dicho alar... aunque esto no lo usas en ninguna parte), sin embargo llegas a la misma conclusión porque el límite que haces del seno, lo haces en $x=0$
Y el límite último está "mal" calculado, la razón no es la aproximación, si no que $sin(x)=x+o(x^2)$, o si quieres utilizar el límite $lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x}=1$.

Como es continua (ya lo has comprobado), puedes usar también lo que dice alar.

- - - Actualizado - - -

PD: este ejercicio es igual (igual igual, no parecido) al que me pusieron en el examen jeje xD. Los profes "reciclan" los exámenes. (Por otra parte, podrían haberseles ocurrido la misma función... aunque el cardinal de funciones derivables es muy grande...)

[The Higgs Particle]

Re: Continuidad y diferenciabilidad

no acabo de entender la verdad... pero no se cumple $f(x)+f(y)=f(x+y)$ como te ha dicho alar... aunque esto no lo usas en ninguna parte)

Lo usé al poner $\sin(\pi x + \pi h) - sin(\pi x) = \sin(\pi x + \pi h - \pi x) = \sin(\pi h)$

Pero vamos, cometí el error de ver un teorema y creer que la implicación opuesta también se cumple

PD: este ejercicio es igual (igual igual, no parecido) al que me pusieron en el examen jeje xD. Los profes "reciclan" los exámenes. (Por otra parte, podrían haberseles ocurrido la misma función... aunque el cardinal de funciones derivables es muy grande...)

No me extraña para nada. De hecho, parece ser que la hoja de inducción y temas así es la misma para los de física y los de matemáticas (no tengo claro si Cálculo de primero o Análisis de 2º).