1r ciclo Convergencia serie

[The Higgs Particle]

Me piden estudiar la convergencia de esta serie, y no tengo claro qué es lo que está bien y lo que no:

$\dst \sum_{k = 1}^\infty \frac{10^k}{k ! }$

1) Por una parte, sé que si serie$S(x_n)$ es convergente, entonces $\lim_{n \to \infty} (x_n) = 0$. Es decir, los términos van decreciendo.

En este caso, vemos que tenemos una exponencial entre un factorial, creciendo más rápidamente la exponencial. Según esto, $S(x_n)$ sería divergente entonces

2) Además, por el criterio del cociente:

$\dst \lim_{n \to \infty} \frac{x_{k+1}}{x_k } = r$

- Si $r>0 \to S(x_n)$ diverge

- Si $r<1 \to S(x_n)$ converge

Siguiendo este criterio, tengo:

$\dst \frac{10^{k+1} k!}{(x+1)! 10^k } = \frac{10}{k+1 } \to r= 0$

Luego $S(x_n)$ converge

[Al2000]

Re: Convergencia serie

Hey, $\dst 25! \approx 1.55 \times 10^{25}$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Convergencia serie

- Si $r>0 \to S(x_n)$ diverge

- Si $r<1 \to S(x_n)$ converge

revisa los criterios de convergencia

https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_...e_convergencia

[The Higgs Particle]

Re: Convergencia serie

En este caso, vemos que tenemos una exponencial entre un factorial, creciendo más rápidamente la exponencial

Hey, $\dst 25! \approx 1.55 \times 10^{25}$

Vaya, partí de una premisa falsa, gracias!

revisa los criterios de convergencia

https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_...e_convergencia

Ha sido un error tipográfico. Quería decir que si $r>1$ diverge, teniendo en cuenta que $r$ es siempre positivo

[Alriga]

Re: Convergencia serie

Recuerda la lista de infinitos, desde menor a superior orden:

Logaritmo:

$$\log_a n \ \forall a>1$$

Potencia:

$$n^k \ \forall k>0$$

Exponencial:

$$a^n \ \forall a>1$$

Factorial:

$$n!$$

Potencial-exponencial:

$$n^n$$

Para $n \rightarrow \infty$ se cumple siempre que:

- El cociente entre una función de más arriba de la lista y otra de más abajo es cero.

- El cociente entre una función de más abajo de la lista y otra de más arriba es infinito.

Saludos.