1r ciclo Convergencia serie II

[The Higgs Particle]

He intentado estudiar esta serie por la mayor parte de los criterios que conozco (por ejemplo, en el de comparación asintótica o en el del cociente no se saca nada en claro), pero no consigo nada. Por no decir que el denominador no tiene raíces ni racionales y enteras. Creo que tiene que ver con el criterio de comparación, pero las series mayores que ella que he encontrado son todas divergentes y, por ello, tampoco me dicen nada:

$\dst \sum_{k = 1}^\infty \frac{k^2+2}{ 2k^3+6k-20}$

[angel relativamente]

Re: Convergencia serie II

Es normal que no te salga convergente, te transcribo lo que dice wolfram:

"La serie diverge. El criterio del cociente y de la raíz es inconcluyente, pero por el criterio de comparación la serie diverge"

Es decir, busca una serie que diverja pero que sea menor que ésta. Quizá jugar con la serie armónica ayude.

Saludos,

[Mossy]

Re: Convergencia serie II

Hola,

tengo esto un poco olvidado, pero tu serie para k's grandes va como $\displaystyle \frac{1}{k}$ (pues $k^2 >> 2$ y $2 k^3 >>6k+20$ para $k$ grandes y puedes despreciar estos términos) que como sabrás es divergente. Por lo tanto esta serie no te va a converger. Intenta formalizarlo un poco y usar bien el criterio de comparación.

Saludos

[Richard R Richard]

Re: Convergencia serie II

yo encarararía del siguiente modo siguiendo varios consejos que te han dado

$\dst \sum_{k = 1}^\infty \frac{k^2+2}{ 2k^3+6k-20}=\sum_{k = 1}^\infty \frac{k^2}{ 2k^3+6k-20}+\sum_{k = 1}^\infty \frac{2}{ 2k^3+6k-20}$

la segunda sumatoria converge rapidamente por lo que queda analizar


$\dst\sum_{k = 1}^\infty \frac{k^2}{ 2k^3+6k-20}=\sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{ 2k+6k^{-1}-20k^{-2}}$

para valores muy altos de $k$ los terminos $+6k^{-1}-20k^{-2}$ son despreciables ante el valor de $k$

$\dst \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{ 2k+6k^{-1}-20k^{-2}}\cong \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{ 2k}=\dfrac 12 \sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{ k}$


como la serie armonica $\dst\sum_{k = 1}^\infty \frac{1}{ k}$ es divergente el total de la serie también lo será.


Saludos