1r ciclo Ecuación

[The Higgs Particle]

Demostrar que existe una única solución para la siguiente ecuación, y que pertenece al intervalo (0,1):

$\dst \int^{2x^3}_0 e^{t^2} \dd t = 1$

Llamo $f(x)$ al integrando que, como es continuo, me permite va a permitir posteriormente aplicar el Th. Fundamental del cálculo, entre otros.

Defino:

$h(x) = f(x) -1$

Entonces:

$h(x) = f'(x) = 6x^2 \cdot e^{4x^6} > 0\forall x \in \mathbb{R}$

Por ello, $h(x)$ es estrictamente creciente

Además:

$h(0) = f(0)-1 = \dst \int^{0}_0 e^{t^2} \dd t -1 = -1 < 0$

Y como es estrictamente creciente, va a existir al menos un $c \in \mathbb{R}$ | $h(x) > 0$, por lo que, aplicando el Th. de Bolzano, obtengo que existe un único valor para dicha ecuación. Lo único es que no consigo demostrar que la solución se encuentra en un intervalo acotado superiormente por 1.

[angel relativamente]

Re: Ecuación

Hola, te comento varios errores.
1- $f(x)$ creo que no querías decir el integrando sino la integral (el integrando es solo la exponencial)
2- Cuando pones $h(x)=f'(x)$ supongo que se te ha olvidado derivar la h.

Pasando a los errores importantes. Todavía ni siquiera has demostrado la existencia de algún cero de la función, pues

3- Bolzano nunca da unicidad
4- Para aplicar bolzano necesitas saber que hay un cambio de signo (el crecimiento no te dice eso, ya que puede ser estrictamente creciente y negativa siempre).

No obstante, en efecto con bolzano y crecimiento ya lo tienes todo. Bolzano te da la EXISTENCIA de solución, y el crecimiento estricto te da la unicidad (una vez cortado el eje ya no puede volver a bajar). Como además te piden que lo acotes entre (0,1) parece sensato hacer bolzano en dicho intervalo. Para el 0 ya lo tienes. Para el 1 se me ocurre que, como $e^{t^2 }\geq e^t, \; \forall t\geq1$ tienes

$$\dst f(1)=\int_0^2 e^{t^2 } \dd t =\underbrace{ \int_0^1 e^{t^2 } \dd t }_{\geq 0 } + \int _1^2 e^{t^2 } \dd t \geq \int _1^2 e^{t^2 } \dd t \geq \int _1^2 e^{t} \dd t = e^2 - e > 1$$

Con lo que $h(1)>0$.


Saludos,