Secundaria Duda propiedad supremo de función

[alexpglez]

En clase rápidamente utilizamos para demostrar la integrabilidad de funciones la siguiente propiedad para funciones acotadas $\sup(kf)=k\sup(f)$ (junto con la análoga para el ínfimo). No las demostramos en clase ni nos fijamos lo suficiente.
Hoy me he dado cuenta de que es falsa, que sólo se cumple para $k\geq 0$.
Ya que para $k=-1$, sea $x$ tal que $\sup(-f)=-f(x)$, supongamos que $f(x)\not= \inf(f)$, entonces existe otro punto $f(x)>f(x')$, luego $\sup(-f)=-f(x)<-f(x')$ en contradicción con que sea el supremo. Luego $\sup(-f)=-\inf(f)$

¿Es correcto?

PD: Estoy utilizando implícitamente el teorema de Weirstrass... pero veo que el argumento es similar $\sup(-f)\not=-\inf(f)$, luego $-\sup(-f)\not=\inf(f)$, existe x $-\sup(-f)>f(x)$, $\sup(-f)<-f(x)$, en contradicción con que sea el supremo. Me faltaba el caso $-\sup(-f)<\inf(f) \;\;\; \sup(-f)>-\inf(f)$, $\exists x -f(x)>-\inf(f)\;\; f(x)<\inf(f)$ que es una contradicción.

[Richard R Richard]

Re: Duda propiedad supremo de función

Hola Alex creo que se han quedado cortos a la hora de definir la propiedad de la función acotada, deberían haber restrigido los valores de k como tu dices.

Si $A \subset \mathbb R$ y $b > 0$, entonces $sup(bA) = b \,sup(A)$.

fuente http://esfm.egormaximenko.com/real_a...and_inf_es.pdf