1r ciclo Duda serie de Taylor para resolver límites

[Forseti]

Cuando tienes un límite que presenta una indeterminación cuando la variable tiende a 0. Si el límite es finito, ¿se puede comprobar el resultado de substituir x=0 en la correspondiente serie de Taylor?

Gracias de antemano.

[The Higgs Particle]

Re: Duda serie de Taylor para resolver límites

No sólo que lo puedas comprobar, sino que directamente puedes hacerlo por ese camino (a mis profesores, por ejemplo, les gusta mucho más que L'Hôpital). Por ejemplo:

$\dst \lim_{x \to 0} \frac{e^{-x}-1+x}{\cos(2x)-1}$

Como ves, esto es una indeterminación del tipo 0/0, así que podemos hacer el desarrollo de Taylor tanto en el numerador como en el denominador:

$P_{0,2} (e^{-x}) = e^{-0} + 1 \cdot \dst \left\vert{} \frac{-1}{e^x} \right\vert{}_{x=0} \cdot (x-0) + \frac{1}{2} \cdot \left\vert{} \frac{1}{e^x} \right\vert{}_{x=0} \cdot (x-0)^2$ $\to e^{-x} \approx 1-x+ \dst \frac{x^2}{2}$


$P_{0,2} (\cos(2x)) = \cos (2 \times 0) + 1 \cdot \left\vert{} (-2 \sin(2x)) \right\vert{}_{x=0} \cdot (x-0) + \frac{1}{2} \left\vert{} (-4 \cos(2x)) \right\vert{}_{x=0}$ $\to \cos(2x) \approx 1 - 2x^2$



Sustituyendo estos valores obtenidos en el límite inicial, tenemos:

$\lim_{x \to 0} \dst \frac{ \left( 1-x + \frac{x^2}{2} \right) - 1 + x}{\left( 1-2x^2\right) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{-2x^2} = - \frac{1}{4}$

Puedes encontrar más ejemplos resueltos en este enlace.

[Forseti]

Re: Duda serie de Taylor para resolver límites

No sólo que lo puedas comprobar, sino que directamente puedes hacerlo por ese camino (a mis profesores, por ejemplo, les gusta mucho más que L'Hôpital). Por ejemplo:

$\dst \lim_{x \to 0} \frac{e^{-x}-1+x}{\cos(2x)-1}$

Como ves, esto es una indeterminación del tipo 0/0, así que podemos hacer el desarrollo de Taylor tanto en el numerador como en el denominador:

$P_{0,2} (e^{-x}) = e^{-0} + 1 \cdot \dst \left\vert{} \frac{-1}{e^x} \right\vert{}_{x=0} \cdot (x-0) + \frac{1}{2} \cdot \left\vert{} \frac{1}{e^x} \right\vert{}_{x=0} \cdot (x-0)^2$ $\to e^{-x} \approx 1-x+ \dst \frac{x^2}{2}$


$P_{0,2} (\cos(2x)) = \cos (2 \times 0) + 1 \cdot \left\vert{} (-2 \sin(2x)) \right\vert{}_{x=0} \cdot (x-0) + \frac{1}{2} \left\vert{} (-4 \cos(2x)) \right\vert{}_{x=0}$ $\to \cos(2x) \approx 1 - 2x^2$



Sustituyendo estos valores obtenidos en el límite inicial, tenemos:

$\lim_{x \to 0} \dst \frac{ \left( 1-x + \frac{x^2}{2} \right) - 1 + x}{\left( 1-2x^2\right) - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{-2x^2} = - \frac{1}{4}$

Puedes encontrar más ejemplos resueltos en este enlace.

¡Muchas gracias!
¿Por qué prefieren este procedimiento en vez de L'Hôpital?

[The Higgs Particle]

Re: Duda serie de Taylor para resolver límites

En parte, porque muchas veces se aplica mal al no estar pensando si realmente el límite que tienes delante cumple las condiciones de la regla de L'Hôpital. Y en otra parte, mis profesores lo han criticado porque, aunque sirva en un límite concreto, lo aplicamos directamente sin "pelearnos" con el límite, aun cuando se llegan a soluciones más elegantes de otra forma. Matemáticos... Esto lo discutimos aquí.

[Forseti]

Re: Duda serie de Taylor para resolver límites

En parte, porque muchas veces se aplica mal al no estar pensando si realmente el límite que tienes delante cumple las condiciones de la regla de L'Hôpital. Y en otra parte, mis profesores lo han criticado porque, aunque sirva en un límite concreto, lo aplicamos directamente sin "pelearnos" con el límite, aun cuando se llegan a soluciones más elegantes de otra forma. Matemáticos... Esto lo discutimos aquí.

A mis profesores tampoco les gusta que utilicemos L´H por esas razones. Supongo que habrá muchos alumnos que no se detengan en leer realmente las condiciones en las que se puede utilizar. A mi la verdad es que tampoco me gusta mucho, prefiero soluciones más "originales".