1r ciclo Duda límite varias variables.

[Forseti]

¿Por qué en este caso el límite existe y es finito?


$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \, \, \frac{xy}{ \sqrt{x+y}}$


Es decir, si hacemos el límite a partir de la familia de rectas de la forma $y=ax$ ; llegaríamos a:

$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \, \, \frac{ax\sqrt{x}}{ \sqrt{1+a}}$


Por lo tanto, el límite dependería de a. Si a=-1, el denominador se anularía. ¿Por qué existe, sin embargo, el límite?

[IsaacDL]

Re: Duda límite varias variables.

Para poder afirmar que el límite dependa de a (y después, afirmar que el límite no es único), dicho límite solo dependería única y exclusivamente de a. En tu caso, no solo tienes dependencia en a, sino también en x.

Saludos.

[carroza]

Re: Duda límite varias variables.

Sea cual fuere a , el límite cuando x tiende a cero es cero.
Si quieres ser purista, excluye la recta x+y=0.
Saludos.

[Forseti]

Re: Duda límite varias variables.

Para poder afirmar que el límite dependa de a (y después, afirmar que el límite no es único), dicho límite solo dependería única y exclusivamente de a. En tu caso, no solo tienes dependencia en a, sino también en x.

Saludos.

Entonces, ¿por qué en este caso no existe?

$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \, \, \frac{xy}{x+y}$

En este caso también quedaría la dependencia de a y x simultáneamente.

[IsaacDL]

Re: Duda límite varias variables.

El límite para existir ha de ser único. Cuando consigues tras un cambio de variable $y=mx$ un limite cuyo valor dependa de m, significa que el valor del límite no es único para distintas trayectorias, y, por lo tanto, el límite buscado no existe. Como bien te ha dicho carroza, la dependencia en x hace que al realizar el límite, como x está multiplicando a todo, este sea 0. Ahora bien, que podemos sacar del resultado anterior? Pues que si el límite existe, ha de ser 0 para que se respete la unicidad. Mi consejo a la hora de atacar un límite en varias variables:

1)Realizar el límite para comprobar si existe indeterminación.
2)Si la hay, probar límites iterados, y=mx, y=mx^2, y^2=mx, coordenadas polares , intentar igualar ordenes en el numerador y denominador..
3)Si obtienes para estas trayectorias límites distintos, por la unicidad del límite, este no existe.
4)Probar teorema del sandwich y en último caso usar la definición de límite.

Demostrar que el límite buscado no existe es mucho menos complicado que demostrar su existencia.

Saludos.

[carroza]

Re: Duda límite varias variables.

Entonces, ¿por qué en este caso no existe?

$\lim_{(x,y)\to (0,0)} \, \, \frac{xy}{x+y}$

En este caso también quedaría la dependencia de a y x simultáneamente.

Este caso es similar al anterior. Si excluyes el entorno de la recta x+y=0, el límite sale cero.

Estrictamente hablando, a la hora de establecer los puntos (x,y) para realizar el límite, tendrías que excluir aquellos que cumplen

$|x + y| < \epsilon |x-y|^{2-\delta}$

donde $\epsilon$ y $\delta$ son numeros reales positivos, arbitrariamente pequeños