1r ciclo Volúmenes

[unoonox]

Este ejercicio no entiendo cómo lo ha resuelto mi profesora, me resulta bastante confuso. Os lo dejo:

Hallar el volumen del sólido obtenido al quitarle a la esfera $x^2+y^2+z^2\leqslant 1$, el cilindro $x^2+y^2\leqslant r^2$, con 0<r<1

Sé que queda, al cortar por un plano z=k, una corona circular de radio pequeño r (el del cilindro) y de radio grande desconocido, pues varía según la esfera.
Los puntos de corte del cilindro con la esfera, para los límites de integración, salen $z=\pm\sqrt{1-r^2}$. Hasta aquí todo bien, pero no entiendo cómo es que mi profesora llega a que el radio grande de la corona le queda $\sqrt{1-k^2}$. Sé que es debido a que ella corta con el plano k, pero no entiendo el razonamiento para llegar a ese $\sqrt{1-k^2}$. Luego el volumen ya sale sencillo, pero la clave está en entender eso. Ayuda por favor, gracias.

[Richard R Richard]

Re: Volúmenes

Si $z=k=\pm\sqrt{1-r^2}$

Entonces $z^2=k^2=1-r^2$

De donde $r=\pm\sqrt{1-k^2}=\pm\sqrt{1-z^2}$
Es decir la corona estará compuesta por todos los puntos cuya distancia al origen es R, que cumplan $r<R<1$

Si el cilindro tiene radio 0 la interseccion es toda la esfera, en cambio si el radio es 1 el cilindro contiene a la esfera y la corona sobrante tiene volumen nulo.