Otras carreras Problema de optimizacion

[Sir Isaac]

Buenas, escribo para ver si alguno puede ayudarme con el siguiente probkema:

Un rectangulo tiene dimensiones a y b ¿Cual es el area del mayor rectangulo circunscrito a este?( ES DECIR, QUE LOS VÉRTICES DEL RECTÁNGULO DADO ESTÁN SOBRE LOS LADOS DEL RECTÁNGULO PEDIDO)

Muchas gracias

[Alriga]

Re: Problema de optimizacion

La superficie del rectángulo circunscrito sobre el rectángulo original:

$S=(y+z) \cdot (t+x)$

Cada uno de los catetos:

$x=a \ \sin A$

$y=a \ \cos A$

$z=b \ \sin A$

$t=b \ \cos A$

Sustituyendo en la expresión de la superficie:

$S=(a \cos A+b \sin A) \cdot (b \cos A+a \sin A)$

Multiplicando y aplicando la fórmula del seno del ángulo doble:

$S=a b+\dfrac 1 2 (a^2+b^2) \sin(2A)$

Para hallar el ángulo “A” para el que el área “S” es máxima derivamos e igualamos a cero:

$\dfrac{dS}{dA}=(a^2+b^2) \cos(2A) = 0$

$\cos(2A) = 0$

$2A=90^{\circ}$

$A=45^{\circ}$

Por lo tanto el rectángulo circunscrito de mayor área es un cuadrado, cuyos lados son:

$L=y+z=t+x=\dfrac{a+b}{\sqrt 2}$

Y su área es:

$S=a b+\dfrac 1 2 (a^2+b^2)$

Saludos.