1r ciclo Serie de potencias

[unoonox]

Hola a todos, se me presenta el siguiente enunciado:
Determínese la siguiente serie de potencias en su intervalo de convergencia:
$\sum_{n = 2}^\infty \frac{n^{2}}{n-1}x^n$

El intervalo de convergencia, el cual he calculado, me da: (-1,1), por lo que ahí se cumple f(x) igual a la serie está definida. Ahora bien, intento hacer uso de la derivada para llegar a la función, pero ahí me quedo, no soy capaz de hallarla. Necesito ayuda para el ejercicio,
Gracias

[Alriga]

Re: Serie de potencias

Puede ayudarte sustituir:

$\dfrac{n^2}{n-1} \ x^n$

Por:

$\dfrac{n^2}{n-1} \ x^n=\left ( n + 1 + \dfrac 1 {n-1} \right ) \ x^n$

Con ello:

$\dst \sum_2^\infty \dfrac{n^2}{n-1}x^n=\sum_2^\infty n \ x^n+\sum_2^\infty x^n+\sum_2^\infty \dfrac{x^n}{n-1}$

Saludos.

[unoonox]

Re: Serie de potencias

Alriga, lo he intentado con tu pista pero no llego al resultado que necesito para calcular la suma. El método que nos habían enseñado es derivar la función, hacerla parecida a una progresión geométrica, integrarla y así hallar f(x), pero en este caso no lo consigo y no sé por qué...

[Alriga]

Re: Serie de potencias

$\dst \sum_{n=2}^\infty \dfrac{n^2}{n-1}x^n=\dst \sum_{2}^\infty \left ( n + 1 + \dfrac 1 {n-1} \right ) \ x^n =\sum_2^\infty n \ x^n+\sum_2^\infty x^n+\sum_2^\infty \dfrac{x^n}{n-1}$

* La segunda suma es fácil:

$\dst \sum_2^\infty x^n$

Ya que es una serie geométrica de primer término $a_1=x^2$ y de razón $r=x$

$\dst \sum_2^\infty x^n=\dfrac{x^2}{1-x}$

* La primera, como la expresión se parece a la derivada de $x^n$ se puede operar para que se parezca aun más:

$\dst \sum_2^\infty n \ x^n=\sum_2^\infty x \cdot n x^{n-1}=\sum_2^\infty x \cdot \dfrac d{dx} x^n= x \cdot \sum_2^\infty \dfrac d{dx} x^n =x \cdot \dfrac d{dx}\sum_2^\infty x^n$

El sumatorio de la derecha es el mismo que acabamos de resolver arriba, luego:

$\dst \sum_2^\infty n \ x^n=x \cdot \dfrac d{dx} \left ( \dfrac{x^2}{1-x} \right )=\dfrac{x^2(2-x)}{(1-x)^2}$

* La tercera es algo más difícil

$\dst \sum_{n=2}^\infty \dfrac{x^n}{n-1}=\sum_{n=2}^\infty \dfrac{x \cdot x^{n-1}}{n-1}=x \cdot \sum_{n=2}^\infty \dfrac{x^{n-1}}{n-1}$

Llamando a $n-1=k$

$\dst \sum_{n=2}^\infty \dfrac{x^n}{n-1}=x \cdot \sum_{k=1}^\infty \dfrac{x^k}{k}$

Recordando, como puedes comprobar, que la Serie de Taylor del logaritmo neperiano es:

$\dst \ln(1+x)=\sum_{k=1}^\infty \dfrac{(-1)^{k+1} \ x^k}{k}=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4+\dfrac{x^5}5 - \text{...}$

Evaluando en $x \rightarrow -x$ sale:

$\dst \ln(1-x)=-x-\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4-\dfrac{x^5}5 - \text{...}= - \sum_{k=1}^\infty \dfrac{x^k}{k}$

Sustituimos y queda:

$\dst \sum_{n=2}^\infty \dfrac{x^n}{n-1}=-x \cdot \ln(1-x)$

Uniéndolo todo:

$$\boxed{\dst \sum_{n=2}^\infty \dfrac{n^2}{n-1}x^n=\sum_{n=2}^\infty n \ x^n+\sum_{n=2}^\infty x^n+\sum_{n=2}^\infty \dfrac{x^n}{n-1}=\dfrac{x^2(2-x)}{(1-x)^2}+\dfrac{x^2}{1-x}-x \cdot \ln(1-x)}$$

Que es válido para:

$$-1 < x < 1$$

Saludos.

[unoonox]

Re: Serie de potencias

Muchas gracias, me has salvado jeje, aunque me gustaría saber cómo has descompuesto la fracción ya que me parece bastante útil. O es muy obvio o no lo veo, y me ha parecido que no sé hacerlo

[Alriga]

Re: Serie de potencias

... cómo has descompuesto la fracción ...

Dividiendo polinomios , en el enlace tienes un ejemplo.

$\dfrac{n^2}{n-1}=(n + 1) + \dfrac 1 {n-1}$

Saludos.

[unoonox]

Re: Serie de potencias

Anda! Vale vale, no se me había ocurrido eso. Ahora todo cobra más sentido, muchas gracias de nuevo.