1r ciclo Gradiente

[The Higgs Particle]

Hola, me he bloqueado en este ejercicio:

Si $e^u \cos(v) = x$ e $e^u \sin(v)=y$, teniendo $u=u(x,y); v=v(x,y)$, calcula los gradientes $\nabla u(x,y), \nabla v(x,y)$

No tengo claro cómo hacerlo porque no tengo la expresión $u=u(x,y)$ para hacer las derivadas parciales que requiere el gradiente. ¿Alguna pista?

[Richard R Richard]

Re: Gradiente

$\ee^{u}\cos v =x\quad \to\quad \ee^{u}=\dfrac{x}{\cos v}$

$\ee^{u}\sin v =y\quad \to\quad \ee^{u}=\dfrac{y}{\sin v}$

luego

$\ee^{u}=\dfrac{y}{\sin v}=\dfrac{x}{\cos v}\quad \to\quad \tan v =\dfrac yx \quad \to\quad v=atan \dfrac yx$

y

$\ee^{u}\cos v =x=\ee^{u}\sqrt{1-\sin^2 v} =\ee^{u}\sqrt{1-\dfrac{y^2}{\ee^{2u}}} =\dfrac{\cancel{\ee^{u}}}{\cancel{\ee^{u}}}\sqrt{\ee^{2u}-y^2}$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

entonces

$u(x,y)=ln\left [\sqrt{x^2+y^2}\right ]$

$v(x,y)=atan \left [\dfrac yx\right ]$

ahora tienes que aplicar la definición de gradiente

$\nabla\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial \phi}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial \phi}{\partial z}\hat{z}$

[Al2000]

Re: Gradiente

$\dst x^2 = \ee ^{2u} \cos ^2 v,\,\,\,y^2 = \ee ^{2u} \, \mathrm {sen}^2 \, v \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = \ee ^{2u} \quad \Rightarrow \quad u = \frac 1 2 \ln (x^2 + y^2)$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[The Higgs Particle]

Re: Gradiente

Vamos, que hay que despejar sí o sí la $u$ y la $v$ (dudaba si habría algún teorema o se podría aplicar de alguna forma la regla de la cadena)
Muchas gracias!