1r ciclo Derivadas parciales

[The Higgs Particle]

"¿Dónde está el error en este razonamiento?

$w=f(x,y); y=x^2 \to \dst \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial x} + 2x \frac{\partial w}{\partial y}$"

No tengo claro dónde está (vamos, que yo misma podría haberlo hecho así y quedarme tan ancha). Lo único que me han explicado sobre esto es que, a la hora de derivar parcialmente, no sería lo mismo tener $f(x,y)$ que $f(x,x^2)$, ¿va por aquí la cosa?

[Richard R Richard]

Re: Derivadas parciales

creo que solo te lias por como defines las variables , definelas de este modo

si $w=f(u,v)=u+v$

ademas

$u=x$
$v=x^2$


entonces


$\dst \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial u} 1+ \frac{\partial w}{\partial v}2x$

$\dfrac{\partial w}{\partial u}=1$

$\dfrac{\partial w}{\partial v}=1$

entonces $\dst \frac{\partial w}{\partial x}=1+2x$

el mismo resultado llegas si


$w=f(x,y)=x+y$

$y=x^2$

$w=f(x,x^2)=x+x^2$

$\dst \frac{\partial w}{\partial x}=1+2x$

por lo que no veo error en plantearlo de ese modo solo que a veces es engorroso manejar el mismo nombre de la variable para una función de esa misma variable ej $u(x)=x$

[The Higgs Particle]

Re: Derivadas parciales

Pero yo no defino nada. En el enunciado hay algún error (como los típicos que ponen a veces que dividiendo por cero llegan a cosas como 0=1), y me pide encontrarlo, pero no sé

Pensé que tendría algo que ver con este ejemplo que nos puso en clase:

$r = f(x,y)= \dst \sqrt{x^2+y^2} \to \frac{ \partial r }{\partial x} = \frac{x}{r} = \frac{r \cos(\theta)}{r} = \cos(\theta)$

Pero también:
$r= f(x, \theta) = \dst \frac{x}{\cos(\theta)} \to \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{1}{\cos(\theta)}$

[Richard R Richard]

Re: Derivadas parciales

$r = f(x,y)= \dst \sqrt{x^2+y^2}$

pero

$\dfrac{y}{x}=\tan \theta$

entonces $r = f(x,x\tan \theta) \to \dfrac{ \partial r }{\partial x} = \dfrac{x(1+\tan^2 \theta)}{r} = \dfrac{r \cos\theta\dfrac{\cos^2\theta+\sin^2\theta}{\cos^2\theta}}{r} = \dfrac{\cos(\theta)}{\cos^2(\theta)}=\dfrac{1}{\cos(\theta)}$

yo lo que entiendo es que si la función está definida con las variables $x$ e $y$ su derivada debes expresarla en función de $x$ e $y$ no de $\theta$


$\dfrac{ \partial r(x,y) }{\partial x}=\dfrac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

y si

$\dfrac{ \partial r(x,\theta) }{\partial x}=\dfrac {1}{\cos\theta}$

[Al2000]

Re: Derivadas parciales

Este segundo ejemplo que pones es muy claro para mi. La primera derivada te dice cómo varía $r$ con $x$ manteniendo $y$ constante, mientras que la segunda derivada te dice cómo es la variación cuando mantienes $\theta$ constante, lo cual son dos situaciones completamente diferentes.

El primer ejemplo me confunde. No veo como puedes variar $x$ manteniendo $y$ constante

[arivasm]

Re: Derivadas parciales

Con intención de ayudar (pero con dudas de no estar metiendo la pata): en la definición de derivada parcial juega un papel central el que únicamente se varíe la variable (valga la redundancia) respecto de la que se deriva, manteniéndose constante todas las demás: $\dst \frac{\partial f}{\partial u}=\lim_{h\to 0}\frac{f(u+h,v)-f(u,v)}{h}$ (y análogamente para v). Para ello es imprescindible que sean independientes. En el ejemplo u=x, v=x² está claro que no es posible variar sólo u sin variar x.

PD: Me alegro de ver que Al apunta en la misma dirección (mi mensaje fue escrito sin saber que Al también estaba contestando)

[carroza]

Re: Derivadas parciales

Es que Al2000 y arivasm son dos agujeros negros muy correlacionados. A ver si van a acabar emitiendo ondas gravitatorias.

Saludos (perdon por el chiste malo...)

[Al2000]

Re: Derivadas parciales

...
yo lo que entiendo es que si la función está definida con las variables $x$ e $y$ su derivada debes expresarla en función de $x$ e $y$ no de $\theta$


$\dfrac{ \partial r(x,y) }{\partial x}=\dfrac {x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

y si

$\dfrac{ \partial r(x,\theta) }{\partial x}=\dfrac {1}{\cos\theta}$

Dice el refrán que "La mona, aunque se vista de seda, mona se queda" pues, aunque le des las vueltas que tú quieras, no puedes escapar del hecho que $\dst \frac x {\sqrt {x^2 + y^2}} = \cos \theta$ y en consecuencia las dos derivadas, que parecería fuesen la misma, conducen a resultados diferentes.

Te pongo otro ejemplo, tomado del electromagnetismo. El estudiante de corriente eléctrica pronto se encuentra con que la potencia disipada como calor en un resistor viene dada por la expresión $\dst P_J = I^2 R = \frac {V^2} R$, expresión que a causado confusión a no pocos estudiantes, pues predice resultados contradictorios cuando se varía $R$.

En efecto, si calculas la rapidez con la cual cambia la potencia disipada cuando varía $R$, obtienes según la expresión que uses que:

$$\frac {\partial P_J}{\partial R} = I^2 \quad \text {o bien que} \quad \frac {\partial P_J}{\partial R} = - \frac {V^2} {R^2}$$

Si para comparar mejor, usas que $V = I R$, entonces tienes que

$$\frac {\partial P_J}{\partial R} = I^2 \quad \text {o bien que} \quad \frac {\partial P_J}{\partial R} = - I^2$$

expresiones aparentemente contradictorias, hasta que caes en cuenta de que la primera se obtuvo considerando que $I$ es constante mientras que la segunda se obtuvo considerando que $V$ es constante.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Re: Derivadas parciales

Sin dudas llevas la razon Al, solo que si la función esta definida con las variables x e y no se puede expresar en función de otra variable no definida,pues $f(x,y) \neq f(x,y,\theta)\neq f(x,\theta)<br />$

la definición de wikipedia

En cálculo diferencial, una derivada parcial de una función de diversas variables, es la derivada respecto a cada una de esas variables manteniendo las otras como constantes.

es una derivada direccional en el caso particular en que el vector director coincide con el eje coordenado de las variables.

En análisis matemático, la derivada direccional (o bien derivada según una dirección) de una función multivariable, en la dirección de un vector dado,

Evidentemente la dirección $y= cte$ y $\theta = cte$ son distintas y por eso las derivadas parciales (direccionales)son distintas, reitero aun así me parece que las derivadas deben ser escritas en función de las variables de la función primitiva.

[alexpglez]

Re: Derivadas parciales

"¿Dónde está el error en este razonamiento?

$w=f(x,y); y=x^2 \to \dst \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial x} + 2x \frac{\partial w}{\partial y}$"

No tengo claro dónde está (vamos, que yo misma podría haberlo hecho así y quedarme tan ancha). Lo único que me han explicado sobre esto es que, a la hora de derivar parcialmente, no sería lo mismo tener $f(x,y)$ que $f(x,x^2)$, ¿va por aquí la cosa?

Es que una cosa es la derivada total respecto a una variable, y una derivada parcial.

$$\frac{df}{dx}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y(x+h))-f(x,y(x))}{h}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}$$

Y:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$

La derivada total también se puede ver como la regla de la cadena para las funciones $f(x,y)$ y $g(x)=(x,y(x))$:

$$\nabla (f o g)(x)=\nabla f (g(x)) \cdot \frac{dg}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}$$

Saludos

PD: el tecnicismo de "derivada total" viene porque la función $f o g$ con $f: B \subset R^n \to R$ y $g:A \subset R \to B$, $g(x)=(x,y(x),z(x)...)$ es de una variable. Así pues usar el símbolo de la derivada de una variable no es descabellado (creo... al menos lo he visto usar muchas veces):

$$\frac{df}{dx}=\nabla (f o g)$$

Porque lo que estamos haciendo es parametrizar con ciertas curva $g(x)$, con la variable libre del mismo valor que la variable $x$ de $f$.

- - - Actualizado - - -

Y terminando mi intervención, si se confunde:

$$\frac{df}{dx}$$

Con:

$$\frac{\partial f}{\partial x}$$

Te queda la "extraña ecuación" sobre la que preguntabas (sustituye aquí $y=x^2$ para recuperar totalmente tu ejemplo):

$$\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0$$

[The Higgs Particle]

Re: Derivadas parciales

Como he visto que se ha generado tanta polémica, le he preguntado al profesor. Y esta es su repuesta:

Sea $g(x)=x^2 = y; w=f(x,y)$, donde entonces $w = f o g$. El fallo está en la regla de la cadena, que sería:

$\dst \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot 1 + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot 2x$

Es decir, $w$ es más que simplemente $f$ (puesto que es una composición de ésta y g)