Otras carreras Comprobar el Teorema de Green

[Xaora]

Hola!
Podrían ayudarme a resolver el siguiente problema:
Comprobar el Teorema de Green para el círculo D de centro (0,0) y radio R, y las funciones P(x,y)=x·{y}^{2} y Q(x,y)=-y·{x}^{2}.
Muchas gracias.

[Richard R Richard]

Re: Comprobar el Teorema de Green

tienes que probar que

$\dst \int_{C^{+}} (P\, \dd x + Q\, \dd y) = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, \dd A$

el miembro a la izquierda lo puedes transformar parametrizando la curva en funcion de R y $\theta$

$x=R\cos\theta \quad\to\quad \dd x=-R\sin \theta\dd \theta$

$y=R\sin\theta \quad\to\quad \dd y=R\cos \theta\dd \theta$

por lo que

$xy^2\dd x =R\cos\theta \cdot R^2\sin^2\theta\cdot (-R\sin\theta)\dd \theta=-R^4\sin\theta\cos^3\theta$

y

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

luego

$<br /> \dst \int_{C^{+}} (P\, \dd x + Q\, \dd y) =\int_0^{2\pi}\left [-R^4\sin\theta\cos^3\theta\right]+\left [-R^4\cos\theta\sin^3\theta\right]\dd \theta=$$\dst\int_0^{2\pi}-R^4\cos\theta\sin\theta\left[\sin^2\theta+\cos^2\theta\right]\dd \theta$

$$\dst \int_{C^{+}} (P\, \dd x + Q\, \dd y) =\int_0^{2\pi}-R^4\cos\theta\sin\theta\dd \theta$$

para el lado derecho

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=-2xy$

$\dfrac{\partial P}{\partial x}=2xy$

Luego

$\dst\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, \dd A=\iint_{D} -2xy -2xy\, \dd A=\iint_{D} -4xy \, \dd A$

pasando a polares

$x=r\cos\theta$

$y=r\sin\theta$

el jacobiano es $r$

$\dst\iint_{D} -4xy \, \dd A=\int_0^{2\pi}\int_0^{R} -4 r\cos\theta r\sin\theta r \dd r \dd \theta =-4\int_0^{2\pi} \dfrac{r^4}{4}\cos\theta \sin\theta \dd \theta=$

$$\iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, \dd A=\int_0^{2\pi}-R^4\cos\theta\sin\theta\dd \theta$$

se ve que la es presión 1 y 2 son iguales a la misma integral por lo tanto los miembros izquierdo y derecho son iguales. Como quieres demostrar

[Xaora]

Re: Comprobar el Teorema de Green

Perfecto. Muchísimas gracias. Un saludo