1r ciclo Integrales dobles (coordenadas polares)

[Enrique Ortiz Martinez]

[FONT=verdana]Calcular [/FONT]$\iint$[FONT=verdana]_W $\frac{1}{({x}^{2 }+{y}^{2 }{)}^{ 2} }$$dxdy$. Donde $W$ esta determinado por las condiciones ${x}^{2 }+{y}^{2 }$ [/FONT]$\leqslant$ [FONT=verdana]$1$ y $x+y$ [/FONT]$\geqslant$[FONT=verdana] $1$


[/FONT][FONT=verdana]La grafique y queda de esta manera:

[/FONT]


[FONT=verdana]Y cambiando la función a coordenadas polares queda asi:[/FONT]


$\iint$ $\frac{r}{({r}^{2 }{)}^{ 2} }$ $dr$$d\theta$

[FONT=verdana][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [/FONT][Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] [FONT=verdana] $|$ [/FONT]$\leqslant$[FONT=verdana] $r$ [/FONT]$\leqslant$[FONT=verdana] $1$ ; [/FONT][FONT=verdana] [/FONT]$\leqslant$ $\theta$ $\leqslant$[FONT=verdana] $2$ [/FONT]$\pi$[FONT=verdana]

Pero al hacer la integral y evaluando a $r$ obtengo [/FONT]$\infty$[FONT=verdana]

[/FONT][FONT=verdana]Me podrían ayudar a ver en donde esta mi error, de antemano gracias[/FONT]

[Richard R Richard]

Re: Integrales dobles (coordenadas polares)

Por que quieres resolver en polares??? es mas facil con un cambio de variables.

$\cancel{I=\dst\int_0^1\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{({x}^{2 }+{y}^{2 }{)}^{ 2} }\dd x \dd y}$

$I=\dst\int_0^1\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{({x}^{2 }+{y}^{2 }{)}^{ 2} } \dd y \dd x$

de esta forma los limites de integracion estan bien definidos

y en polares no....(entiendase no supe como, gracias AL)

[Al2000]

Re: Integrales dobles (coordenadas polares)

Por que quieres resolver en polares??? es mas facil con un cambio de variables.

$I=\dst\int_0^1\int_{1-x}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{({x}^{2 }+{y}^{2 }{)}^{ 2} }\dd x \dd y$

de esta forma los limites de integracion estan bien definidos

y en polares no....

Pusiste el orden de integración al revés o tomaste los límites al revés Debería ser

$$I=\int_0^1\int_{1-y}^{\sqrt{1-y^2}}\frac{1}{({x}^{2 }+{y}^{2 }{)}^{ 2} }\dd x \dd y$$

Esta integral no la pude resolver (entiéndase, mi software no la sabe resolver), pero no tuvo problemas con la integral en coordenadas polares:

$$I = \int_0^{\pi/2} \int_{\frac {\sqrt 2} 2 \csc (\frac {3 \pi } 4 - \theta )}^1\! \frac {dr\,d \theta }{r^3} = \frac 1 2$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Enrique Ortiz Martinez]

Re: Integrales dobles (coordenadas polares)


Gracias Richard R Richard

es que como vi que la región era un circulo, pensé que era mas fácil resolverlo por coordenadas polares pero ya vi que no lo era